TRÓJKĄT

[damian22254]

w trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy większa od drugiej.Wykaż , że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki , z których jeden jest 16 razy większy od drugiego

[patryk00714]

niech a i b będą przyprostokątnymi, a c przeciwprostokątną wówczas: \(a=4x, b=x \rightarrow c=x\sqrt{17}\)

na mocy wzoru na wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną, który wygląda następująco:\(h_{c}=\frac{ab}{c}\) wyznaczamy długość wysokości \(h_{c}\) zatem:
\(h_{c}=\frac{4x^{2}}{x\sqrt{17}}=\frac{4x}{\sqrt{17}}=\frac{4x\sqrt{17}}{17}\)

teraz wystarczy z tw. Pitagorasa wyliczyć długości odcinków p i q na które zost podzielona przeciwprostokątna. Zatem do dzieła!

\(p^{2}+h_{c}^{2}=a^{2}\)
\(p^{2}+h_{c}^{2}=a^{2}\rightarrow p^{2}+\frac{16x^{2}}{17}=16x^{2}\rightarrow p^{2}=\frac{272x^{2}}{17}-\frac{16x^{2}}{17}\rightarrow p^{2}=\frac{256x^{2}}{17}\rightarrow p= \frac{16x}{\sqrt{17}}\)

z działania \(q^{2}+h_{c}^{2}=x^{2}\) wyliczamy q i otrzymujemy, że \(q=\frac{x}{\sqrt{17}}\)

\(\frac{p}{q}= \frac{16x}{\sqrt{17}}*\frac{\sqrt{17}}{x}=16\) c.n.p

[Pol]

z podobieństwa odpowiednich trójkątów byłoby tak:

przyprostokątne: \(a = 4x, \ b = x\)
przeciwprostokątna podzielona na dwa kawałki: \(c = d+e\)

z podobieństwa trójkątów mamy:
\(\frac d a = \frac a c\) oraz \(\ \frac e b = \frac b c\)

stąd mamy:
\(d = \frac{a^2}{c}\) oraz \(e = \frac {b^2}{c}\)

czyli
\(\frac d e = \frac{a^2}{c} \ : \ \frac {b^2}{c} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{16x^2}{x^2} = \frac{16}{1}\)