permutacje
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
permutacje
ile zer bedzie na koncu liczby 30! i 15! .? odp to 7 i 3. czy mógłby ktoś wytłumaczyć jak dojsc do takich wyników?
W iloczynie 30! są m. in. czynniki: 2 i 5 (jedno zero), 4 i 25 (dwa), 8 i 15 (jedno), 10, 20, 30 - po jednym
Zera na końcu masz, jeśli jeden z czynników ma na końcu zero, albo jeśli mnożysz liczbę parzystą przez liczbę z piątką na końcu.
\(5\cdot15\cdot25=5^4\cdot3\)
\(3\cdot5^4\cdot2\cdot8=3\cdot5^4\cdot2^4=3\cdot10^4\)
\(10\cdot20\cdot30=6\cdot10^3\)
\(6\cdot10^3\cdot3\cdot10^4=18\cdot10^7\)
Ta liczba ma 7 zer na końcu. Pomnożenie przez pozostałe liczby tej ilości nie zmienia.
W iloczynie 15! jest wśród czynników liczba 10 (jedno zero), poza tym 5 i 15 oraz 2 i 4
\(10\cdot5\cdot15\cdot2\cdot4=10\cdot5\cdot3\cdot5\cdot2\cdot2^2=10\cdot5^2\cdot2^2\cdot6=10\cdot10^2\cdot6=6\cdot10^3\)
Na końcu będą 3 zera
Zera na końcu masz, jeśli jeden z czynników ma na końcu zero, albo jeśli mnożysz liczbę parzystą przez liczbę z piątką na końcu.
\(5\cdot15\cdot25=5^4\cdot3\)
\(3\cdot5^4\cdot2\cdot8=3\cdot5^4\cdot2^4=3\cdot10^4\)
\(10\cdot20\cdot30=6\cdot10^3\)
\(6\cdot10^3\cdot3\cdot10^4=18\cdot10^7\)
Ta liczba ma 7 zer na końcu. Pomnożenie przez pozostałe liczby tej ilości nie zmienia.
W iloczynie 15! jest wśród czynników liczba 10 (jedno zero), poza tym 5 i 15 oraz 2 i 4
\(10\cdot5\cdot15\cdot2\cdot4=10\cdot5\cdot3\cdot5\cdot2\cdot2^2=10\cdot5^2\cdot2^2\cdot6=10\cdot10^2\cdot6=6\cdot10^3\)
Na końcu będą 3 zera
\(100=10^2\\10\cdot20\cdot30\cdot...\cdot90=9!\cdot10^9\)
Wśród tych 100 liczb są 2 liczby podzielne przez 25, bez zer na końcu - 25 i 75
\(25\cdot75=3\cdot5^4\)
Pozostałe liczby z piątką na końcu (podzielne przez 5 i niepodzielne przez 10 i niepodzielne przez 25) to: 15, 35, 45,..., 95 (8 liczb)
\(5\cdot15\cdot35\cdot...\cdot95=1\cdot3\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot5^8\)
Liczba z zerem na końcu dzieli się przez 10, czyli przez iloczyn 2 i 5.
\(2\cdot4\cdot8\cdot32=2^{15}\)
\(10^2\cdot10^9\cdot5^8\cdot5^4\cdot2^{12}=10^{23}\)
100! ma 23 zera na końcu.
Trzeba policzyć, ile jest czynników z zerami na końcu i ile one mają w sumie tych zer. Później policzyć, ile w tym iloczynie jest piątek - dwójek na pewno wystarczy... (do pary z piątkami)
Wśród tych 100 liczb są 2 liczby podzielne przez 25, bez zer na końcu - 25 i 75
\(25\cdot75=3\cdot5^4\)
Pozostałe liczby z piątką na końcu (podzielne przez 5 i niepodzielne przez 10 i niepodzielne przez 25) to: 15, 35, 45,..., 95 (8 liczb)
\(5\cdot15\cdot35\cdot...\cdot95=1\cdot3\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot5^8\)
Liczba z zerem na końcu dzieli się przez 10, czyli przez iloczyn 2 i 5.
\(2\cdot4\cdot8\cdot32=2^{15}\)
\(10^2\cdot10^9\cdot5^8\cdot5^4\cdot2^{12}=10^{23}\)
100! ma 23 zera na końcu.
Trzeba policzyć, ile jest czynników z zerami na końcu i ile one mają w sumie tych zer. Później policzyć, ile w tym iloczynie jest piątek - dwójek na pewno wystarczy... (do pary z piątkami)
