zastosowanie całek oznaczonych

[Aqois]

1) Obliczyć pole figury ograniczonej funkcjami\(y=sinx i y=x^2- \pi x\)
2) Obliczyć pole figury będącej wspolną częścią elipsy x=3cost, \(y=sin2x\) dla \(t \in <0,2 \pi >\) i kąta AOB, gdzie punkty AOB mają współrzędne A(1,0); B(1,1); O(0,0)

3) obliczyć długość łuku paraboli \(y=2x^2\) od wierzchołka do punktu A(1,2)
4) Obliczyć objętość figury powstałej w wyniku obrotu w okół osi x wykresu funkcji \(y=sin2x dla x \in <0,2 \pi >\)
5) Pole powierchni bocznej figury powstałej w wyniku obrotu w okól osi x wykresu funkcji \(y=x \sqrt{2} dla x \in <0,1>\)

[radagast]

1)

ScreenHunter_252.jpg (8.26 KiB) Przejrzano 634 razy

\(P= \int_{0}^{ \pi } sinx dx - \int_{0}^{ \pi } x^2-\pi x dx= \left[-cosx \right]_0^ \pi - \left[ \frac{1}{3}x^3- \frac{ \pi }{2}x^2 \right]_0^ \pi=1+1- \frac{ \pi ^3}{3} + \frac{ \pi }{2} \pi ^2=2+ \frac{ \pi ^3}{6}\)

[radagast]

5) przekrój osiowy powstałej figury wygląda tak:

ScreenHunter_256.jpg (8 KiB) Przejrzano 634 razy

A powstała figura to oczywiście stożek o promieniu podstawy \(r=1\) i tworzącej \(l= \sqrt{1^2+ \sqrt{2}^2 } = \sqrt{3}\)
no to pole powierzchni bocznej: \(P_b= \pi rl= \pi \sqrt{3}\)

[radagast]

3) Najpierw obejrzyj to: http://www.youtube.com/watch?v=6k974uSs8UE


\(l= \int_{0}^{1} \sqrt{1+ \left( \left( 2x^2\right)' \right)^2 }dx =\int_{0}^{1} \sqrt{1+ \left(4x \right)^2 }dx=\int_{0}^{1} \sqrt{1+ 16x^2 }dx=\) ... no i tu jest pewien kłopot (to sie ładnie nie liczy):
\(\int_{0}^{1} \sqrt{1+ 16x^2 }dx=4\int_{0}^{1} \sqrt{ \left( \frac{1}{4} \right)^2 + x^2 }dx= \frac{1}{2} \left[x \sqrt{\left( \frac{1}{4} \right)^2 + x^2 } + \frac{1}{16}ln|x+ \sqrt{\left( \frac{1}{4} \right)^2 + x^2 } \right]_0^1\)
może to i wyjdzie ładnie ale troche teraz nie mam czasu . Maże spróbuj sam(a)

[radagast]

4) Najpierw obejrzyj to: http://www.youtube.com/watch?v=_wUNgYgmuk8

I teraz :
\(V= \int_{0}^{2 \pi } \pi sin^2 2x dx\) (jesteś pewien ,ze to taką funkcje obracamy? Słabo się liczy.. sprawdż czy nie ma pomyłki w treści zadania)

[radagast]

2) też chyba żle przepisane powinno być y=sin 2t, prawda ?