Mam problem z takim zadaniem, prosze o pomoc;)
Oblicz granice ciagu
\(\lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2+5}-n }{ \sqrt{n^2+2}-n }+ \lim_{x\to \infty }[n^3*ln( \frac{n^3+3}{n^3-5} )]\)
z gory dziekuje
Granica ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17552
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2+5}-n }{ \sqrt{n^2+2}-n }+ \lim_{n\to \infty }[n^3 \cdot ln( \frac{n^3+3}{n^3-5} )]=\)
rozbiję to na dwie granice:
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2+5}-n }{ \sqrt{n^2+2}-n }= \lim_{n\to \infty } \frac{ (\sqrt{n^2+5}-n)(\sqrt{n^2+5}+n)(\sqrt{n^2+2}+n) }{ (\sqrt{n^2+2}-n)(\sqrt{n^2+2}+n) (\sqrt{n^2+5}+n) }= \lim_{n\to \infty } \frac{ (n^2+5-n^2)(\sqrt{n^2+2}+n) }{ (n^2+2-n^2) (\sqrt{n^2+5}+n) }=
\lim_{n\to \infty } \frac{ 5(\sqrt{n^2+2}+n) }{ 2 (\sqrt{n^2+5}+n) }= \lim_{n\to \infty } \frac{ 5(\sqrt{1+ \frac{2}{n^2} }+1) }{ 2 (\sqrt{1+ \frac{5}{n^2} }+1) }= \frac{5}{2}\)
\(\lim_{n\to \infty }[n^3 \cdot ln( \frac{n^3+3}{n^3-5} )]=\lim_{n\to \infty }n ln( \frac{n+3}{n-5} )= \lim_{n\to \infty } ln( \frac{n+3}{n-5} )^n= \lim_{n\to \infty } ln( 1+\frac{8}{n-5} )^n=
ln \lim_{n\to \infty } \left( ( 1+\frac{8}{n-5} )^n \right) =lne^8=8\)
No i ostatecznie:
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2+5}-n }{ \sqrt{n^2+2}-n }+ \lim_{n\to \infty }[n^3 \cdot ln( \frac{n^3+3}{n^3-5} )]= \frac{5}{2}+8=10,5\)
rozbiję to na dwie granice:
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2+5}-n }{ \sqrt{n^2+2}-n }= \lim_{n\to \infty } \frac{ (\sqrt{n^2+5}-n)(\sqrt{n^2+5}+n)(\sqrt{n^2+2}+n) }{ (\sqrt{n^2+2}-n)(\sqrt{n^2+2}+n) (\sqrt{n^2+5}+n) }= \lim_{n\to \infty } \frac{ (n^2+5-n^2)(\sqrt{n^2+2}+n) }{ (n^2+2-n^2) (\sqrt{n^2+5}+n) }=
\lim_{n\to \infty } \frac{ 5(\sqrt{n^2+2}+n) }{ 2 (\sqrt{n^2+5}+n) }= \lim_{n\to \infty } \frac{ 5(\sqrt{1+ \frac{2}{n^2} }+1) }{ 2 (\sqrt{1+ \frac{5}{n^2} }+1) }= \frac{5}{2}\)
\(\lim_{n\to \infty }[n^3 \cdot ln( \frac{n^3+3}{n^3-5} )]=\lim_{n\to \infty }n ln( \frac{n+3}{n-5} )= \lim_{n\to \infty } ln( \frac{n+3}{n-5} )^n= \lim_{n\to \infty } ln( 1+\frac{8}{n-5} )^n=
ln \lim_{n\to \infty } \left( ( 1+\frac{8}{n-5} )^n \right) =lne^8=8\)
No i ostatecznie:
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2+5}-n }{ \sqrt{n^2+2}-n }+ \lim_{n\to \infty }[n^3 \cdot ln( \frac{n^3+3}{n^3-5} )]= \frac{5}{2}+8=10,5\)