Całka oznaczona i nieoznaczona

[kubar091]

\(\int_{%200%20}^{%20\pi%20}%20\frac{sin3x}{e^2x}dx\)

\(\int_{}^{} \frac{ \sqrt{x}dx }{4+ \sqrt[3]{x} }\)

[radagast]

\(\int \frac{sin3x}{e^{2x}}dx =\)
\(\int {sin3x}e^{-2x}dx=\)
\(- \frac{1}{2} \int {sin3x}(e^{-2x})'dx=\)
\(- \frac{1}{2} {sin3x}e^{-2x}+ \frac{3}{2} \int {cos3x}e^{-2x}dx=\)

\(- \frac{1}{2} {sin3x}e^{-2x}- \frac{3}{4} \int {cos3x}(e^{-2x})'dx =\)

\(- \frac{1}{2} {sin3x}e^{-2x}- \frac{3}{4} {cos3x}e^{-2x}- \frac{9}{4} \int {sin3x}e^{-2x}dx =\)

oznaczmy \(I=\int \frac{sin3x}{e^{2x}}dx\)

czyli otrzymaliśmy:

\(I=- \frac{1}{2} {sin3x}e^{-2x}- \frac{3}{4} {cos3x}e^{-2x} - \frac{9}{4} I\)
stąd

\(I= \frac{- \frac{1}{2} {sin3x}e^{-2x}- \frac{3}{4} {cos3x}e^{-2x}}{ \frac{13}{4} }\)

a po uproszczeniu

\(I= \frac{- 2 {sin3x}- 3 {cos3x} }{ 13e^{2x}}\)

czyli


\(\int \frac{sin3x}{e^{2x}}dx = \frac{- 2 {sin3x}- 3 {cos3x} }{ 13e^{2x}}+C\)

No to


\(\int_0^ \pi \frac{sin3x}{e^{2x}}dx =[ \frac{- 2 {sin3x}- 3 {cos3x} }{ 13e^{2x}}]_0^ \pi= \frac{3}{13e^{2 \pi }}+ \frac{3}{13}\)

Mogłam się pomylić (szczególnie na końcu). Sprawdź

[radagast]

\(\int \frac{ \sqrt{x}dx }{4+ \sqrt[3]{x} }\)

podstawmy

\(t= \sqrt[6]{x}\)

wtedy \(\sqrt[3]{x}=t^2\)

\(\sqrt{x}=t^3\)

\(x=t^6\)

\(\frac{dx}{dt}=6t^5\)

\(dx=6t^5dt\)

Teraz

\(\int \frac{ \sqrt{x}dx }{4+ \sqrt[3]{x} }= 6 \int \frac{t^8}{t^2+4}dt\)

i jest to klasyczny przykład całki z funkcji wymiernej:

\(6 \int \frac{t^8}{t^2+4}dt=6 \int \frac{t^8}{t^2+4}dt= 6 \int\frac{(t^2+4)t^4-4t^4}{t^2+4}dt = 6 \int t^4-\frac{4t^4}{t^2+4}dt=

6\int t^4-\frac{4t^2(t^2+4)-16t^2}{t^2+4}dt =\)

\(6\int t^4-4t^2+\frac{16t ^2}{t^2+4}dt =6\int t^4-4t^2+\frac{16(t^2+4)-64}{t^2+4}dt =6\int t^4-4t^2+16-\frac{64}{t^2+4}dt =\)

\(\frac{6}{5}t^5-8t^3+96t-192arctg \frac{t}{2}+C=\)

\(\frac{6}{5}\sqrt[6]{x}^5-8\sqrt{x} +96\sqrt[6]{x} -192arctg \frac{\sqrt[6]{x} }{2}+C\)

Oczywiście należy sprawdzić . Mogłam się pomylić (było gdzie)