Wyznacz pierwiastki:
a) \(\sqrt[3]{1}\) czy to będzie 1 jak w normalnym pierwiastkowaniu?
b) \(\sqrt[3]{-1}\) czy to -1?
c) \(\sqrt[4]{-81}\) czy to -3?
d) \(\sqrt[6]{-64}\) czy to -4?
e) \(\sqrt[4]{-8+8i \sqrt{3} }\) tutaj kompletnie nie wiem
bardzo proszę o pilną pomoc
zadanie z liczb zespolonych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej różnej od 0 jest n.
Są więc 3 pierwiastki trzeciego stopnia, 4 stopnia czwartego i t. d.
1. Przedstaw liczbę podpierwiastkową w postaci trygonometrycznej: \(z=r(cos\alpha+i\ sin\alpha)\)
2. Kolejne pierwiastki znajdujesz według wzoru:
\(x_k=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\alpha+2k\pi}{n})+i\ sin(\frac{\alpha+2k\pi}{n}))\), gdzie k=0, 1, 2, ..., n-1
b)
\(\sqrt[3]{-1}\)
\(z=-1=-1+0i\\r=\sqrt{(-1)^2+0^2}=\sqrt{1}=1\\z=1(-1+0i)=1(cos\pi+i\ sin\pi)\)
\(x_0=\sqrt[3]{1}(cos(\frac{\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi}{3}))=1(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(x_1=\sqrt[3]{1}(cos(\pi+2\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi+2\pi}{3}))=1(cos\pi+i\ sin\pi)=-1+0=-1\)
\(x_2=\sqrt[3]{1}(cos(\frac{\pi+4\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi+4\pi}{4}))=1(cos(\frac{5}{3}\pi)+i\ sin(\frac{5}{3}\pi))=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(\sqrt[3]{-1}=-1\ \vee\ \sqrt[3]{-1}=\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Są więc 3 pierwiastki trzeciego stopnia, 4 stopnia czwartego i t. d.
1. Przedstaw liczbę podpierwiastkową w postaci trygonometrycznej: \(z=r(cos\alpha+i\ sin\alpha)\)
2. Kolejne pierwiastki znajdujesz według wzoru:
\(x_k=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\alpha+2k\pi}{n})+i\ sin(\frac{\alpha+2k\pi}{n}))\), gdzie k=0, 1, 2, ..., n-1
b)
\(\sqrt[3]{-1}\)
\(z=-1=-1+0i\\r=\sqrt{(-1)^2+0^2}=\sqrt{1}=1\\z=1(-1+0i)=1(cos\pi+i\ sin\pi)\)
\(x_0=\sqrt[3]{1}(cos(\frac{\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi}{3}))=1(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(x_1=\sqrt[3]{1}(cos(\pi+2\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi+2\pi}{3}))=1(cos\pi+i\ sin\pi)=-1+0=-1\)
\(x_2=\sqrt[3]{1}(cos(\frac{\pi+4\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi+4\pi}{4}))=1(cos(\frac{5}{3}\pi)+i\ sin(\frac{5}{3}\pi))=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(\sqrt[3]{-1}=-1\ \vee\ \sqrt[3]{-1}=\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)
a)
\(z=1=1(1+0)=1(cos0+i\ sin0)\)
\(x_0=\sqrt[3]{1}(cos(\frac{0+2\pi}{3})+i\ sin(\frac{0+2\pi}{3}))=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(x_1=1(cos(\frac{4\pi}{3})+i\ sin(\frac{4\pi}{3}))=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(x_2=1(cos(\frac{6\pi}{3})+i\ sin(\frac{6\pi}{3}))=cos2\pi+i\ sin2\pi=1+0i=1\)
\(z=1=1(1+0)=1(cos0+i\ sin0)\)
\(x_0=\sqrt[3]{1}(cos(\frac{0+2\pi}{3})+i\ sin(\frac{0+2\pi}{3}))=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(x_1=1(cos(\frac{4\pi}{3})+i\ sin(\frac{4\pi}{3}))=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(x_2=1(cos(\frac{6\pi}{3})+i\ sin(\frac{6\pi}{3}))=cos2\pi+i\ sin2\pi=1+0i=1\)
c)
\(z=-81=81(-1+0i)=81(cos\pi+i\ sin\pi)\)
\(x_0=\sqrt[4]{81}(cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4}))=3(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i\)
\(x_1=3(cos(\frac{3}{4}\pi)+i\ sin(\frac{3}{4}\pi))=-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
\(x_2=3(cos(\frac{5}{4}\pi)+i\ sin(\frac{5}{4}\pi))=-\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i\)
\(x_3=3(cos(\frac{7}{4}\pi)+i\ sin(\frac{7}{4}\pi))=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i\)
\(z=-81=81(-1+0i)=81(cos\pi+i\ sin\pi)\)
\(x_0=\sqrt[4]{81}(cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4}))=3(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i\)
\(x_1=3(cos(\frac{3}{4}\pi)+i\ sin(\frac{3}{4}\pi))=-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
\(x_2=3(cos(\frac{5}{4}\pi)+i\ sin(\frac{5}{4}\pi))=-\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i\)
\(x_3=3(cos(\frac{7}{4}\pi)+i\ sin(\frac{7}{4}\pi))=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i\)