Zadanie 1.
Wiadomo, że funkccja f odwzorowuje R na R i dla każdego x,y f( x + y ) = f( x ) + f( y ) i f ( 1 ) = 1. Wyznacz f( 1/32 )
Zadanie 2.
Wyzanacz wszystkie funkcje f odwzorowujące R na R takie, że dla każdego x,y f( x )+f ( y )= (x+y)f(xy)
Wyznaczanie funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
Zadanie 1.
Łatwo uzasadnić metodą indukcji matematycznej, że dla każdego naturalnego n różnego od 0 zachodzi f(nx)=nf(x)
Korzystając z powyższego f(32x)=32f(x) stąd f(x)= f(32x)/32 w takim razie f(1/32)= f(32pomnożone przez 1/32)/32 czyli f(1/32)=f(1)/32 ponieważ f(1)=1 to f(1/32)= 1/32.
Zadanie 2.
Dane: dla każdego x,y zachodzi f(x)+f(y)= (x+y)f(xy)
Jeżeli x=1 i y=0 to f(1)+f(0)=(1+0)f(0) wynika stąd, że f(1)=0
Jeżeli y=1 to f(x)+f(1)=(x+1)f(x) stąd f(x)+f(1)=xf(x)+f(x) czyli xf(x)=f(1)
ponieważ f(1)=0 to xf(x)=0 więc f(x)=0
Wynika stąd, że f odwzorowuje R w R ? Jak wykazać, że jest to jedyna funkcja spełniająca dane warunki? A może są jeszcze inne funkcje spełniające dane warunki?
Łatwo uzasadnić metodą indukcji matematycznej, że dla każdego naturalnego n różnego od 0 zachodzi f(nx)=nf(x)
Korzystając z powyższego f(32x)=32f(x) stąd f(x)= f(32x)/32 w takim razie f(1/32)= f(32pomnożone przez 1/32)/32 czyli f(1/32)=f(1)/32 ponieważ f(1)=1 to f(1/32)= 1/32.
Zadanie 2.
Dane: dla każdego x,y zachodzi f(x)+f(y)= (x+y)f(xy)
Jeżeli x=1 i y=0 to f(1)+f(0)=(1+0)f(0) wynika stąd, że f(1)=0
Jeżeli y=1 to f(x)+f(1)=(x+1)f(x) stąd f(x)+f(1)=xf(x)+f(x) czyli xf(x)=f(1)
ponieważ f(1)=0 to xf(x)=0 więc f(x)=0
Wynika stąd, że f odwzorowuje R w R ? Jak wykazać, że jest to jedyna funkcja spełniająca dane warunki? A może są jeszcze inne funkcje spełniające dane warunki?