Całka nieozanczona z f tryg.

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
tometomek91
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 133
Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
Podziękowania: 42 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy

Całka nieozanczona z f tryg.

Post autor: tometomek91 »

Oblicz całkę
\(\int \frac{dx}{cosx}\)

Czy jest jakiś inny sposób niż skorzystanie ze wzoru na całkę z secansa?
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9862 razy
Płeć:

Post autor: irena »

\(cosx=sin(x+\frac{\pi}{2})\\x+\frac{\pi}{2}=t\\dx=dt\\\int\frac{dx}{cosx}=\int\frac{dt}{sint}=\\ \begin{cases}tg\frac{t}{2}=u\\\frac{t}{2}=arc\ tgu\\t=2arc\ tgu\\dt=\frac{2}{1+u^2}du\\sint=\frac{2u}{1+u^2} \end{cases} \\=\int\frac{\frac{2}{1+u^2}}{\frac{2u}{1+u^2}}du=\int\frac{du}{u}=ln|u|=ln|tg\frac{t}{2}|=ln|tg(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9162 razy

Post autor: Galen »

Mam wzór:
\(\int_{}^{} \frac{dx}{cosx}= \frac{1}{2}ln| \frac{1+sinx}{1-sinx}|\)
Nie zdołam go w tej chwili wyprowadzić.
Jeszcze jeden wzór:
\(\int_{}^{} \frac{dx}{sinx}=ln|tg \frac{x}{2}|\) Ten zastosowała Irena.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9862 razy
Płeć:

Post autor: irena »

No, ja miałam zadanie takie, jak dał tometomek91, ale do niego była tylko odpowiedź, dlatego policzyłam sama i moja odpowiedź zgadza się z odpowiedzią w książce.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9862 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Spróbujmy sprawdzić, czy to jest równe:
\(|tg(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|=|\frac{tg\frac{x}{2}+tg\frac{\pi}{4}}{1-tg\frac{x}{2}\cdot\ tg\frac{\pi}{4}}|=|\frac{1+t}{1-t}|\\t=tg\frac{x}{2}\)

\(\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}=\sqrt{\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{1-\frac{2t}{1+t^2}}}=\sqrt{\frac{\frac{1+2t+t^2}{1+t^2}}{\frac{1-2t+t^2}{1+t^2}}}=\sqrt{\frac{(1+t)^2}{(1-t)^2}}=|\frac{1+t}{1-t}|\)

Czyli- dobrze
tometomek91
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 133
Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
Podziękowania: 42 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy

Post autor: tometomek91 »

Mam jeszcze jedno wyprowadzenie do wzoru Galena :)
\(\int\frac{dx}{cosx}=\int \frac{cosx}{cos^2x}dx=\frac{1}{2} \int \frac{2cosx}{cos^2x}dx
=\frac{1}{2} \int cosx \cdot \frac{1+sinx+1-sinx}{1-sin^2x}dx
=\frac{1}{2} \int \frac{cosx}{1+sinx}dx+\frac{1}{2} \int \frac{cosx}{1-sinx}dx
= \frac{1}{2}ln|\frac{1+sinx}{1-sinx}| +C\)

dalej jeszcze można rozszerzyc ten ułamek o sprzezenie mianownika, wtedy dostajemy ładne wyniki po spierwiastkowaniu wyrażenia logarytmowanego :)

Dzięki za pomoc!
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9162 razy

Post autor: Galen »

Dzięki za wyprowadzenie "gotowca".
Nie wpadłem na to :)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
ODPOWIEDZ