Pochodna

[Filip25]

Oblicz \(f'(0)\), gdzie
\(f(x)= \begin{cases}x(x+1)^2 & \text{dla} &x \le 0\\0& \text{dla}& x>0 \end{cases} \)

[janusz55]

\( f(x)= \begin{cases}x(x+1)^2 & \text{dla} &x \le 0\\0& \text{dla}& x>0 \end{cases} \)

Przystępując do badania różniczkowalności funkcji musimy najpierw sprawdzić, czy jest ona ciągła.

Z definicji ciągłości funkcji w punkcie

\( \Lim_{x\to 0^{-}} f(x) = 0(0+1)^2 = 0 ,\)

\( \Lim_{x\to 0^{+}} f(x) =0 ,\)

\( f(0) = 0\cdot(0+1)^2 =0 \)

Funkcja jest ciągła w punkcie \( (0,0) \)

Badamy istnienie pochodnej funkcji w punkcie \( (0,0) \) (różniczkowalność funkcji) :

\( f'(0) = \begin{cases} \Lim_{h\to 0} \frac{f(0+h) -f(0)}{h} = \Lim_{h\to 0} \frac{h(h-1)^2 - 0}{h} = \Lim_{h\to 0} (h-1)^2= 1 \ \ \text{dla} \ \ h<0 \\ 0 \ \ \text{dla}\ \ h >0 \end{cases}.\)

Granice ilorazu różnicowego w zerze są różne - nie istnieje pochodna funkcji \( f'(0).\)

[Jerry]

Analogicznie, jak w poprzedni wątku: ponieważ:

1. \(\Lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=0=\Lim_{x\to0^+}f(x)\)
   czyli \(f(x)\) ciągła w \(x_0=0\),
2. \(f'(x)= \begin{cases}3x^2+4x+1 & \text{dla} &x \color{red}{<} 0\\0& \text{dla}& x>0 \end{cases},\)
3. \(\Lim_{x\to0^-}f'(x)=1\ne0=\Lim_{x\to0^+}f'(x)\),

to \(f'(0)\) nie istnieje.

Pozdrawiam