Czy dana funkcja jest bijekcja, surjekcją, injekcją

[Matmaniak]

Dana jest funkcja
\(f: \rr \to\rr^2\\
f(x)=(x-7,\ x^2)\)
Sprawdź czy dana funkcja jest injekcją surjekcją bijekcja jeśli jest bijekcja wyznaczyć funkcję odwrotną. Proszę o pomoc

[Tulio]

Wstawiając \(t=x-7, x=t+7\) otrzymujemy:
\( \left( t, \left( t+7\right)^2 \right) \)
Czyli \(g \left( t\right) = \left( t+7\right) ^2 \)
Czyli jest to zwykła parabola.
Parabola nie jest różnowartościowa = nie jest injekcją
Parabola jest na (od wierzchołka wzwyż przyjmując) - jest surjekcją
Parabola nie posiada funkcji odwrotnej na całej swojej dziedzinie = nie jest bijekcją.

[janusz55]

To zależy od dziedziny tego odwzorowania.

Jeśli dziedzinę zawęzimy do \( t \in \rr^{+} \) ,to odwzorowanie jest bijekcją, a więc istnieje odwzorowanie odwrotne...

Co to jest parabola zwykła? Co to jest w takim razie "parabola niezwykła? Co to jest parabola różnowartościowa ?

Nie można mylić wykresu funkcji, który jest parabolą z różnowartościowością, która dotyczy własności funkcji. Nie ma takiego pojęcia jak " parabola różnowartościowa."

Jeśli dziedzinę odwzorowania zawęzimy do zbioru \( \rr^{+},\) to wykresem odwzorowania jest prawa gałąź paraboli.

[Tulio]

Co to jest parabola zwykła?

zwykła w sensie "omawiana zwykle w liceum, skierowana do góry, a nie np. w bok".
"zwykła parabola" została użyta w tym dokumencie: tutaj

Co to jest parabola różnowartościowa?

Nigdzie nie użyłem takiego stwierdzenia, ale moje "parabola nie jest różnowartościa" było skrótem myślowym od "funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola, nie jest różnowartościowa".

[janusz55]

Dana jest funkcja:

\( f: \rr \rightarrow \rr^2 \)

określona wzorem:

\( f(x) = (x-7, \ \ x^2 ).\)

Proszę sprawdzić, czy dana funkcja jest injekcją , surjekcją, bijekcją ?

W przypadku bijekcji wyznaczyć funkcję odwrotną.

Wprowadzając parametr \( t = x-7 \) (jak Tulio) - możemy zapisać funkcję w postaci parametrycznej \( ( t, (t+7)^2 ).\) lub \( g(t) = (t + 7)^2.\)

Wykresem tej funkcji jest parabola \( t^2 \) przesunięta o \( -7 \) jednostek wzdłuż osi poziomej \( Ot.\)

Funkcja, ta nie jest injekcją \( (1-1) \) czyli funkcją różnowartościową , gdyż na przykład \( g(-8) = g(-6) = 1.\)

Natomiast jest różnowartościowa na każdym z przedziałów \( (-\infty, -7] , [-7, \infty ).\)

Funkcja \( g (t) = (t+7)^2 \) nie jest surjekcją, czyli funkcją \( " na " \) na zbiór \( \rr, \) gdyż przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.

Ponieważ nie jest injekcją i surjekcją, więc nie funkcją wzajemnie jednoznaczną -czyli bijekcją.

[Jerry]

Wg mnie dana funkcja, przyporządkowująca liczbom rzeczywistym punkty płaszczyzny kartezjańskiej,

1. jest iniekcją (różnowartościowa), bo:
   niech \(x_1,\ x_2\in\rr\) i \(f(x_1)=f(x_2)\). Wtedy
   \[(x_1-7,x_1^2)=(x_2-7,x_2^2)\iff\begin{cases}x_1-7=x_2-7\\x_1^2=x_2^2\end{cases}\So x_1=x_2,\]
2. nie jest suriekcją ("na"), bo zbiór wartości - punkty paraboli o równaniu \(y=(x+7)^2\) - nie wypełniają \(\rr^2\),
3. nie jest zatem bijekcją (przekształceniem wzajemnie jednoznacznym) i funkcja odwrotna nie istnieje.

Ale to tylko moje zdanie, nie śmiałbym się uważać za besserwissera - jak co poniektórzy userzy...

Pozdrawiam
PS. Autor wątku w międzyczasie był na forum i ... nie skomentował!

[Tulio]

Wg mnie dana funkcja, przyporządkowująca liczbom rzeczywistym punkty płaszczyzny kartezjańskiej,

1. jest iniekcją (różnowartościowa), bo:
   niech \(x_1,\ x_2\in\rr\) i \(f(x_1)=f(x_2)\). Wtedy
   \[(x_1-7,x_1^2)=(x_2-7,x_2^2)\iff\begin{cases}x_1-7=x_2-7\\x_1^2=x_2^2\end{cases}\So x_1=x_2,\]

Czy zapis funkcji kwadratowej \(y=x^2\) (niebędącą różnowartościową na dziedzinie rzeczywistej) jest równoważny zapisowi \( f \left( x\right) = \left( x,x^2\right) \)? Czy też to drugie jest wręcz trójką liczb \( \left( x,x,x^2\right) \)?
Jak tym drugim to masz rację z byciem różnowartościową (funkcji z tematu). Nie pamiętam już jak jest.

[Jerry]

Czy zapis funkcji kwadratowej \(y=x^2\) (niebędącą różnowartościową na dziedzinie rzeczywistej) jest równoważny zapisowi \( f \left( x\right) = \left( x,x^2\right) \)?

Wg mnie - nie!

Pozdrawiam