obliczyć pole obszarów ograniczonych krzywymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
obliczyć pole obszarów ograniczonych krzywymi
Witam mam problem z jednym podpunktem musze policzyć pole obszaru ograniczonego przez: \(x^2+y^2=2y\), \(y=\sqrt{3}\cdot |x|\) wykres narysowałem prawidłowo ale mimo to wynik mi nie wychodzi. Wynik to \pi/3 +V3/2
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3610
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1975 razy
Re: obliczyć pole obszarów ograniczonych krzywymi
Elementarnie:
Dana figura jest mnogościową sumą dwóch równoramiennych trójkątów o ramionach \(1\) i kącie pomiędzy nimi \(120^\circ\) oraz sektora kołowego o promieniu \(1\) i kącie środkowym \(120^\circ\). Zatem
\[S=2\cdot{1\over2}\cdot1^2\cdot{\sqrt3\over2}+{1\over3}\cdot\pi\cdot1^2\]
A mniej elementarnie:
\[S=2\cdot\int\limits_0^{\sqrt3\over2}\left(\sqrt{1-x^2}+1-\sqrt3x\right)dx\]
Pozdrawiam
Dana figura jest mnogościową sumą dwóch równoramiennych trójkątów o ramionach \(1\) i kącie pomiędzy nimi \(120^\circ\) oraz sektora kołowego o promieniu \(1\) i kącie środkowym \(120^\circ\). Zatem
\[S=2\cdot{1\over2}\cdot1^2\cdot{\sqrt3\over2}+{1\over3}\cdot\pi\cdot1^2\]
A mniej elementarnie:
\[S=2\cdot\int\limits_0^{\sqrt3\over2}\left(\sqrt{1-x^2}+1-\sqrt3x\right)dx\]
Pozdrawiam
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1748
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 445 razy
Re: obliczyć pole obszarów ograniczonych krzywymi
\( \mathcal{P}: \begin{cases} y = \pm \sqrt{1-x^2} +1 \\ y = \sqrt{3}\cdot |x| \end{cases} \)
\( \pm\sqrt{1+x^2} +1 = \sqrt{3}\cdot |x| \)
\( \pm \sqrt{1+x^2} = (\sqrt{3}\cdot|x| -1) \ \ |^2 \)
\( 1 +x^2 = 3x^2 -2\sqrt{3}\cdot |x| + 1 \)
\( 4x^2 -2\sqrt{3}\cdot|x| = 0 \)
\( \mathcal{P} = \begin{cases} 4x^2 -2\sqrt{3}\cdot x = 2x(2x - \sqrt{3}) = 0,\ \ \text{gdy} \ \ x>0 \\ 4x^2 + 2\sqrt{3}\cdot x = 0 = 2x(2x +\sqrt{3}) =0, \ \ \text{gdy}\ \ x<0. \end{cases}\)
\( \mathcal{P} = \left [ 0, \ \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[-\frac{\sqrt{3}}{2} , \ \ 0 \right] = \mathcal{P'} \cup \mathcal{P^{''}}. \)
Pole obszaru ograniczonego krzywymi:
\( A = \int_{(\mathcal{P'})} d \mathcal{P'} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\sqrt{1- x^2}+1 - \sqrt{3}\cdot x)dx = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\sqrt{1- x^2} + \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} 1dx - \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}\cdot x dx = c_{1} + c_{2} - c_{3}.\)
\( c_{1} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\sqrt{1- x^2} dx = [x = \sin(t), \ \ dx = \cos(t)dt] = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2(t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left[\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2t)\right]dt = \frac{1}{2}\left[t \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} + \frac{1}{4} \left[\sin(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}= \frac{\pi}{6} +\frac{1}{4} \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) =\)
\( = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}.\)
\( c_{2} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} dx = \left[ x \right] _{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\)
\( c_{3} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}\cdot x dx = \frac{1}{2}\left[x^2\right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8}.\)
\( A = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}.\)
\( \pm\sqrt{1+x^2} +1 = \sqrt{3}\cdot |x| \)
\( \pm \sqrt{1+x^2} = (\sqrt{3}\cdot|x| -1) \ \ |^2 \)
\( 1 +x^2 = 3x^2 -2\sqrt{3}\cdot |x| + 1 \)
\( 4x^2 -2\sqrt{3}\cdot|x| = 0 \)
\( \mathcal{P} = \begin{cases} 4x^2 -2\sqrt{3}\cdot x = 2x(2x - \sqrt{3}) = 0,\ \ \text{gdy} \ \ x>0 \\ 4x^2 + 2\sqrt{3}\cdot x = 0 = 2x(2x +\sqrt{3}) =0, \ \ \text{gdy}\ \ x<0. \end{cases}\)
\( \mathcal{P} = \left [ 0, \ \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[-\frac{\sqrt{3}}{2} , \ \ 0 \right] = \mathcal{P'} \cup \mathcal{P^{''}}. \)
Pole obszaru ograniczonego krzywymi:
\( A = \int_{(\mathcal{P'})} d \mathcal{P'} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\sqrt{1- x^2}+1 - \sqrt{3}\cdot x)dx = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\sqrt{1- x^2} + \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} 1dx - \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}\cdot x dx = c_{1} + c_{2} - c_{3}.\)
\( c_{1} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\sqrt{1- x^2} dx = [x = \sin(t), \ \ dx = \cos(t)dt] = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2(t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left[\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2t)\right]dt = \frac{1}{2}\left[t \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} + \frac{1}{4} \left[\sin(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}= \frac{\pi}{6} +\frac{1}{4} \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) =\)
\( = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}.\)
\( c_{2} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} dx = \left[ x \right] _{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\)
\( c_{3} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}\cdot x dx = \frac{1}{2}\left[x^2\right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8}.\)
\( A = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}.\)
Re: obliczyć pole obszarów ograniczonych krzywymi
a pomógłbyś proszę jeszcze z objętością bryły ograniczonej powierzchniami: \(2z=x^2+y^2,\ y+z=4\) za pomocą podwójnej całki, myślałem nad przesunięciem współrzędnych biegunowych ale nadal nie idzie.