Oblicz objetosc bryly ograniczonej powierzchnią

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Karolinka1231231
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 11 sty 2024, 23:12
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Oblicz objetosc bryly ograniczonej powierzchnią

Post autor: Karolinka1231231 »

Oblicz objetosc bryly ograniczonej powierzchnią
\[2z=x^2+y^2,\quad y+z=4\]

Wiem ze wynik powinien wychodzić \({81\pi\over4} \) ale nie potrafię do tego dojść a próbowałam już prawie wszystkiego :/
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1679
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 437 razy

Re: Oblicz objetosc bryly ograniczonej powierzchnią

Post autor: janusz55 »

Skąd ta pewność, że "wynik powinien wychodzić \( \frac{81}{4} \pi" ?\)
Karolinka1231231
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 11 sty 2024, 23:12
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Oblicz objetosc bryly ograniczonej powierzchnią

Post autor: Karolinka1231231 »

Wykładowca taki podał jako odpowiedź, możliwe że się pomylił jeśli tak to jaki jest poprawny
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1679
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 437 razy

Re: Oblicz objetosc bryly ograniczonej powierzchnią

Post autor: janusz55 »

Znajdujemy część wspólną paraboloidy i płaszcyzny

\( D: \begin{cases} 2z = x^2 + y^2 \\ y+z = 4 \end{cases} \)

\( 2(4-y) = x^2 +y^2 \)

\( x^2 + y^2 +2y - 8 = 0,\)

\( x^2 + (y^2 + 2y + 1^2) -1^2 - 8 = 0.\)

\( x^2 +(y+1)^2 = 9 \)

Płaszczyzna przecina paraboloidę wzdłuż okręgu o środku w punkcie \( S(0,-1) \) i promieniu \( r=3.\)

Obszar zawarty między płaszczyzną i paraboloidą zapisujemy we współrzędnych walcowych (cylindrycznych).

\( x = r\cos(\phi),\ \ y +1 = r\sin(\phi), \ \ y = r\sin(\phi)-1, z = 4- y = 4 - \sin(\phi) +1 = 5 -r\sin(\phi).\)

Obszar zawarty między płaszczyzną i paraboloidą

\( V= \{ (r, \phi): 0 \leq \phi \leq 2\pi, \ \ 0 \leq r \leq 3, \ \ 0 \leq z \leq 5 -r\sin(\phi)\}. \)

Objętość tego obszaru

\( |V| = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} \int_{0}^{5-r\sin(\phi)} r dzdrd\phi.\)

\( I_{1} = \int_{0}^{5-\sin(\phi)} dz = \left[ z \right]_{0}^{5- r\sin(\phi)} = 5-r\sin(\phi) .\)

\( I_{2} = \int_{0}^{3} r[5-r\sin(\phi)] dr = \int_{0}^{3} [5r - r^2\sin(\phi)]dr= \left[\frac{5}{2}r^2 -\frac{1}{3}r^3\sin(\phi) \right]_{0}^{3} = \frac{45}{2}-9\sin(\phi).\)

\( I_{3} = |V| = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{45}{2} -9\sin(\phi\right]d\phi = \left[ \frac{45}{2}\phi + 9\cos(\phi)\right]_{0}^{2\pi} = \)

\( \frac{45}{2}\cdot 2\pi + 9\cos(2\pi) - \frac{45}{2}\cdot 0 - 9\cos(0) = 45\pi -0 + 9 -9 = 45\pi.\)
małepiwko
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 12 gru 2022, 11:25
Podziękowania: 160 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Oblicz objetosc bryly ograniczonej powierzchnią

Post autor: małepiwko »