Oblicz pole płatów

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Hermi
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 33
Rejestracja: 22 lis 2023, 20:05
Podziękowania: 23 razy
Płeć:

Oblicz pole płatów

Post autor: Hermi »

Oblicz pole płatów, część sfery \( x^2+y^2+z^2=3 \) leżąca wewnątrz paraboloidy z = \( \frac{(x^2+y^2)}{2} \)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1679
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 437 razy

Re: Oblicz pole płatów

Post autor: janusz55 »

Całka powierzchniowa- niezorientowana

Znajdujemy część wspólną powierzchni sfery i paraboloidy:

\(\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 3 \\ z = \frac{1}{2}(x^2+y^2) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2z +z^2 = 3 \\ z = \frac{1}{2}(x^2 +y^2) \end{cases}\)

\( (z = 1)\vee (z = -3<0.\)

\( S = \{ z =\sqrt{3-x^2-y^2}: (x,y) \in D \} ,\ \ D = \{(x,y): x^2 + y^2 = 1\}.\)

Wektor normalny do powierzchni \( S\)

\( \vec{n} = \pm ( \nabla z, 1) = \pm \left[ \frac{x}{\sqrt{3-x^2-y^2}}, \frac{y}{\sqrt{3-x^2 -y^2}}, 1\right] \)

Długość wektora normalnego:

\(\parallel \vec{n} \parallel = \sqrt{\frac{x^2}{3 -x^2-y^2}+ \frac{y^2}{3 -x^2 -y^2}+1^2} = \sqrt{\frac{x^2+y^2+3 -x^2-y^2}{3-x^2-y^2}} = \sqrt{\frac{3}{3-x^2-y^2}}\)

Pole płata powierzchniowego

\( P = \iint_{(S)} dS = \iint_{(D)}\parallel \vec{n} \parallel dxdy = \sqrt{3}\iint_{(D)} \sqrt{\frac{1}{3-x^2-y^2}} dxdy = [współrzędne \ \ biegunowe] = \sqrt{3} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{3-r^2}} drd\phi = [ u = \sqrt{3-r^2}, \ \ rdr = -udu] =\)
\( = 2\pi\sqrt{3}\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}du = 2\pi\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\pi(3-\sqrt{6}). \)