Trapez suma pierwiastków trójkątów

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
crybe
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 lut 2023, 18:44
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Trapez suma pierwiastków trójkątów

Post autor: crybe »

Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD o równoległych podstawach AB i CD. Udowodnić, że suma pierwiastków pól trójkątów BPA i DPC równa się pierwiastkowi pola trapezu.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3571
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1964 razy

Re: Trapez suma pierwiastków trójkątów

Post autor: Jerry »

Fakt:
Jeśli przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku
001 (3).jpg
to, z \(\Delta ABP\sim\Delta PCD\), mamy:
\[\begin{cases}S_4=k^2\cdot S_1\\ S_2=S_3=k\cdot S_1\end{cases}\So S_{ABCD}=(k+1)^2\cdot S_1\]
skąd do tezy blisko...

Pozdrawiam
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
crybe
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 lut 2023, 18:44
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Re: Trapez suma pierwiastków trójkątów

Post autor: crybe »

Skąd równość \(S_{2} = k*S_{1}\)?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3571
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1964 razy

Re: Trapez suma pierwiastków trójkątów

Post autor: Jerry »

Trójkąty \(APD,\ PCD\) mają wspólną wysokość i \(|AP|=k\cdot|PC|\) stąd związek pomiędzy ich polami

Pozdrawiam