Styczna do wykresu funkcji

[OliwierG]

Witam, mam problem z podanym zadaniem
"Napisać równanie prostej prostopadłej do stycznej, do wykresu funkcji f(x), w punkcie x=1, gdzie:
\(f(x)=\frac{x^3-2x^2+x-1}{x^2+4x-5}\)
Po obliczeniu pochodnej:
\(f'(x)=\frac{-1 + 22 x - 24 x^2 + 8 x^3 + x^4}{(-1 + x)^2 (5 + x)^2}\)
I podstawieniu wychodzi mi wartość \(f'(1)=[\frac{6}{0}]\) z którą nie wiem jak dalej postąpić aby wyznaczyć równanie stycznej.

[Jerry]

\(D=\{x\in\rr;\ x^2+4x-5\ne0\}=\rr\setminus\{-5,1\}\)
Trudno jest poprowadzić styczną/normalną do wykresu funkcji w punkcie poza dziedziną tej funkcji...

Pozdrawiam

[janusz55]

Proszę wyznaczyć równanie normalnej czyli prostej prostopadłej do stycznej w punkcie \( p = 1.\)

Funkcja
\( f(x)=\frac{x^3-2x^2+x-1}{x^2+4x-5} \) ma pochodną

\( f'(x) = \frac{(3x^2-4x+1)(x^2+4x-5)- (x^3-2x^2+x-1)(2x+4)}{(x^2+4x-5)^2} = \frac{x^4-24x^2+22x-1}{(x^2+ 4x -5)^2}\) równą \( -\infty \) w punkcie \( p = 1.\)

Styczną do wykresu w tym punkcie jest prosta pionowa o równaniu \( x = p = 1.\)

Wykres funkcji ma nieskończenie wiele normalnych - prostych prostopadłych do stycznej \( x = 1\) o równaniach \( y = c, \ \ c\in (-\infty, \infty).\)

[janusz55]

Słuszna uwaga. Wykres funkcji ma asymptoty pionowe: \( x=-5,\ \ x =1\) oraz asyptotę ukośną o równaniu \( y = x-6. \) Nie ma więc stycznej w punkcie \( x = 1.\)