Znajdź zbiory punktów ciągłości funkcji

[Maliss]

\( \begin{cases} \frac{x^2+y^2}{(x-3)^2+(y-4)^2},& (x,y)\neq(3,4)\\0,&(x,y)=(3,4)\end{cases}\)

[janusz55]

Proszę poprawić zapis na:

\( f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2+y^2}{(x-3)^2+(y-4)^2}, \ \ \text{jeżeli} \ \ (x,y)\neq(3,4), \\0, \ \ \text{jeżeli} \ \ (x,y)=(3,4).\end{cases} \)

Poza punktem \( (3,4) \) ciągłość odwzorowania nie budzi wątpliwości.

Jest ono ilorazem wielomianów (dwóch zmiennych \( x, y) \)-funkcji ciągłych, przy czym mianownik różny jest od zera dla \( \rr^2 \setminus (3, 4).\)

Skoncentrujmy się na zbadaniu ciągłości w punkcie \( (3, 4).\)

Rozpoczniemy od znalezienia granicy funkcji, gdy \( (x,y) \rightarrow (3,4). \)

W pierwszej kolejności rozważmy granice iterowane.

Przechodząc z \( x \) do \( 3 \) przy ustalonym \( y \) i rozpatrując osobno dwa przypadki: \( y=4, y\neq 4:\)

\( \lim_{x\to 3} f(x,y) = \lim_{x\to 3} \frac{x^2 +y^2}{(x-3)^2 +(y-4)^2} = \begin{cases} \frac{9 +y^2}{(y-4)^2} \ \ \text{dla} \ \ y \neq 4 \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ y = 4. \end{cases} \)

Granica podwójna \( \lim_{y\to 4}\lim_{x\to 3} f(x,y) \) istnieje i jest równa zeru w punkcie \((3, 4).\)

Aby zbadać drugą granicę iterowaną, ustalmy \( x \) i przejdźmy z \( y \) do \( 4 \), rozpatrując osobno dwa przypadki \( x =3, x\neq 3. \)

\( \lim_{y\to 4} f(x,y) = \lim_{y\to 4} \frac{x^2 +y^2}{(x-3)^2 +(y-4)^2} = \begin{cases} \frac{x^2 +16}{(x-3)^2} \ \ \text{dla} \ \ x \neq 3 \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ x = 3. \end{cases} \)

Druga granica iterowana: \( \lim_{x\to 3}\lim_{x\to 4} f(x,y) \) istnieje i jest równa zeru w punkcie \( (3, 4).\)

Aby upewnić się co do istnienia granicy podwójnej - nieiterowanej przy \( (x, y) \rightarrow (3, 4) \) wybierzmy ciąg punktów
\( (x_{n}, y_{n}),\) taki dla którego zachodzi \( \lim_{n\to \infty} x_{n} = 3, \ \ \lim_{n\to \infty} y_{n} = 4,\) oraz \( (x_{n}, y_{n}) \neq (3, 4),\) a następnie dokonajmy oszacowania:

\( |f(x_{n}, y_{n})|= \left |\frac{x^2_{n} +y^2_{n}}{(x_{n}-3)^2 + (y_{n}- 4)^2}\right| \geq \frac{x^2_{n}+y^2_{n}}{x^2_{n} + y^2_{n}} \rightarrow 1 \neq 0, \) gdy \( n \rightarrow \infty.\)

Granica funkcji \( f(x,y) \) jest różna od zera, chociaż istnieją granice iterowane funkcji w tym punkcie i są równe zeru, a zatem zbiorem ciągłości funkcji jest płaszczyzna \( \rr^2 \) bez punktu \( (3, 4).\)

[Jerry]

Wg mnie, bez quasi-akademickiego zadęcia, wystarczy:
Ponieważ
\(\Lim_{(x,y)\to(3,4)} \frac{x^2+y^2}{(x-3)^2+(y-4)^2}=\left[\frac{9+16}{0^++0^+}\right]=+\infty\ne0\)
to \(f(x,y)\) nieciągła w \((3,4)\). W pozostałych punktach brak przesłanek nieciągłości.

Pozdrawiam

[janusz55]

To nie wystarcza do badania ciągłości funkcji jednej zmiennej a tym bardziej funkcji dwu i wielu zmiennych.

[Jerry]

To nie wystarcza do badania ciągłości funkcji jednej zmiennej ....

... chociaż istnieją granice iterowane funkcji w tym punkcie i są równe zeru...

Poproszę o przykład jednego ciągu \((x_n,y_n)\to(3,4)\) takiego, że \(\Lim_{n\to+\infty}f(x_n,y_n)=0\)

Miłego dnia

[janusz55]

A kto powiedział, że ta granica jest równa zeru?

Panie Jerry badanie ciągłości funkcji nie da się załatwić jednym równaniem.