Metoda szeregów potęgowych

[NoXyeS]

Metodą szeregów potęgowych znaleźć tę całkę szczególną równania
\(x'' + x' + (t + 1)x = 1,\)
która spełnia warunki początkowe \( x(0)=1, x'(0) = 1 \).
Wyznacz pięć pierwszych niezerowych współczynników szukanego szeregu.

[NoXyeS]

Zrobiłam to tak:
\(
x(0) = 1 \\
x'(0) = 1 \\
\\
x'' = -x' - (t + 1)x + 1 \So x''(0) = -1 - t - 1 + 1 = -1 - 0 = -1 \\
x''' = -x'' - (t + 1)x' \So x'''(0) = 1 - (t + 1)1 = 1 - 0 + 1 = 2 \\
x^{IV} = -x''' - (t + 1)x'' \So x^{IV}(0) = -2 - (t + 1)(-1) = -2 + 0 + 1 = -1 \\
\\
x(t) = 1 + t - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{3} t^3 - \frac{1}{24}t^4 + \ldots
\)

Ale nie jestem pewna czy dobrze policzyłam te pochodne? Czy w tym wypadku t mam traktować jak stałą, czy nie?
I nie wiem czy to wszystko w tym zadaniu, czy coś trzeba jeszcze policzyć?

[janusz55]

Pochodne \( -x^{(n)}(t) = (-x^{(n-1)})' , \ \ n= 2,3,4 \) obliczyła Pani poprawnie. \( t \) traktujemy jako zmienną.

[janusz55]

Ponieważ \( x(0)= x_{0} =1, \) to szukałbym całki szczególnej równania w postaci Szeregu Taylora:

\( x(t) = 1 + \frac{x'(1)}{1!}(t- 1) + \frac{x''(1)}{2!}(t- 1)^2 + \frac{x^(3)(1)}{3!}(t- 1)^3 + \frac{x^(4)(1)}{4!}(t- 1)^4 + ...\)