Rozwiąż równania różniczkowe

[NoXyeS]

\(a) x' = \frac{x + \sqrt{tx} }{t} (jednorodne) \\
b) 2x'' - 5x' - 7x = e^{2t} + \sin t \\
c) (3x^2 + 2tx + 2)dt + (6tx + t^2 + 3)dx = 0 \\
d) x' + \frac{x}{t} = 2t^2x^2 (Bernoulliego)
\)

[janusz55]

(a)
\( x'(t) = \frac{x + \sqrt{tx}}{t} \)

Rozwiązanie

\( t>0.\)

Przekształcamy lewą stronę równania do postaci równania jednokładności

\(x'(t) = \frac{x + \sqrt{tx}}{t} = \frac{x}{t}+ \sqrt{\frac{tx}{t^2}} = \frac{x}{t} + \sqrt{\frac{x}{t}} \ \ (1) \)

Wprowadzamy nową zmienną:

\( \frac{x}{t} = y. \)

Stąd

\( x = ty, \ \ x' = y + ty'.\)

\( y + ty' = y + \sqrt{y} \)

\( ty' = \sqrt{y} \)

Rozdzielamy zmienne i całkujemy obustronnie:

\( \int \frac{dy}{\sqrt{y}} = \int \frac{1}{t}dt \)

\( 2 y^{\frac{1}{2}}= \ln (t) +ln(C), \ \ C - \) stała,

\( y^{\frac{1}{2}}= \frac{1}{2}\ln(Ct), \)

\( y = \frac{1}{4}ln^2(Ct) \)

\( x(t) = \frac{1}{4}t \ln^2(Ct).\)

[janusz55]

(b)
Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe - niejednorodne drugiego rzędu
- metoda przewidywania
- metoda uzmiennienia stałej,
- metoda quasi - wielomianu
- metoda przekształcenia Laplace'a.
- metoda sprowadzenia do układu dwóch równań liniowych pierwszego rzędu.

(c)

Równanie różniczkowe zupełne.

d)
Równanie Bernoulliego drugiego rzędu.

Podzielenie obu stron równania przez \( x^2 \)

Podstawienie \( \frac{1}{x^2} = z \)

lub metoda uzmiennienia stałej.

[NoXyeS]

(a)
\( x'(t) = \frac{x + \sqrt{tx}}{t} \)

Rozwiązanie

\( t>0.\)

Przekształcamy lewą stronę równania do postaci równania jednokładności

\(x'(t) = \frac{x + \sqrt{tx}}{t} = \frac{x}{t}+ \sqrt{\frac{tx}{t^2}} = \frac{x}{t} + \sqrt{\frac{x}{t}} \ \ (1) \)

Wprowadzamy nową zmienną:

\( \frac{x}{t} = y. \)

Stąd

\( x = ty, \ \ x' = y + ty'.\)

\( y + ty' = y + \sqrt{y} \)

\( ty' = \sqrt{y} \)

Rozdzielamy zmienne i całkujemy obustronnie:

\( \int \frac{dy}{\sqrt{y}} = \int \frac{1}{t}dt \)

\( 2 y^{\frac{1}{2}}= \ln (t) +ln(C), \ \ C - \) stała,

\( y^{\frac{1}{2}}= \frac{1}{2}\ln(Ct), \)

\( y = \frac{1}{4}ln^2(Ct) \)

\( x(t) = \frac{1}{4}t \ln^2(Ct).\)

a gdyby był taki przykład: \( tx' = x + \sqrt{t^2+x^2} \)

przekształcam:
\( x' = \frac{x}{t} + \sqrt{1 + (\frac{x}{t})^2 } \)
podstawiam:
\(y = \frac{x}{t}, x = yt, x'=y+y't \)
wychodzi:
\(y't = \sqrt{1+y^2} \)
zozdzielam zmienne:
\( \int \frac{1}{ \sqrt{1+y^2} } dy = \int \frac{1}{t}dt \\
ln|y + \sqrt{1 + y^2}| = ln|t| + C /e^{()} \\
|y + \sqrt{1 + y^2}| = |t|e^C \\
y + \sqrt{1 + y^2} = tC \\
y = \sqrt{ \frac{(tC)^2 - 1}{2}} \\
x = t\sqrt{ \frac{(tC)^2 - 1}{2}}\)

i tak jest dobrze? Czy coś gdzieś pomieszałam XD?

[janusz55]

Proszę poprawić obliczenie całki \( \int \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}dy.\)

[NoXyeS]

Proszę poprawić obliczenie całki \( \int \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}dy.\)

ja to przepisałam po prostu ze wzorów: \(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}dy. = ln|x + \sqrt{a^2 + x^2}|\)
a przynajmniej takie nam dał wykładowca.

[janusz55]

Czy wykładowca pokazał jak policzyć całkę \( \int \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} dy ? \) Jeśli nie, to warto poznać choć jedną z metod jej obliczenia.

\( \int \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} dy = \ln( y + \sqrt{1 +y^2}) + C.\)

Nie znam na pamięć tablicę funkcji pierwotnych, stąd moja uwaga aby " poprawnie obliczyć całkę" - uwaga niesłuszna.

\( \ln| y+ \sqrt{1+y^2}| = \ln|t| + \ln C, \ \ \ln(C) \) - stała

\( \ln|y + \sqrt{1+y^2}| = \ln|Ct| \)

\( y + \sqrt{1 +y^2} = \pm Ct \) - uwikłana postać rozwiązania.

Jeśli chcemy jeszcze popracować nad jej rozwikłaniem, to musimy rozwiązać równanie

\( (\sqrt{1 + y^2})^2 = (\pm Ct - y)^2 \)

\( 1 +y^2=(Ct)^2 \mp 2C ty +y^2 \)

\( y =\frac{1- (Ct)^2}{\mp 2Ct}. \)