Zbieżność szeregu

[LuckyLuck]

Sprawdzic zbieżność szeregu \(\sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{(n+2)(n+1) }{n^4} \)

[eresh]

Sprawdzic zbieżność szeregu \(\sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{(n+2)(n+1) }{n^4} \)

\(\int_1^{\infty}\frac{x^2+3x+2}{x^4}dx=\int_1^{\infty}(\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}+\frac{2}{x^4})dx=[-\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}-\frac{2}{3x^3}]^{\infty}_1=\frac{19}{6}\)
całka jest zbieżna, więc szereg jest zbieżny
wypadałoby jeszcze sprawdzić warunek konieczny zbieżności i założenia kryterium całkowego, ale to chyba nie problem

[janusz55]

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)(n+1)}{n^4} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 +3n + 2}{n^4} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} + 3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}.
\)

Suma trzech szeregów harmonicznych rzędu większego od \( 1, \) a więc zbieżnych.