Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Zad.
Boki ośmiokąta foremnego, wpisanego w okrąg o promieniu 2, przedłużono, uzyskując gwiazdę równoramienną. Oblicz pole tej gwiazdy.
Pole gwiazdy równoramiennej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Lbubsazob
- Fachowiec
- Posty: 1909
- Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 898 razy
- Płeć:
Zauważ, że ta gwiazda to 2 nakładające się na siebie kwadraty o boku długości wysokości ośmiokąta. Ich część wspólna to właśnie ten ośmiokąt, więc pole gwiazdy to pole 2 kwadratów minus pole ośmiokąta.
Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym wyraża się wzorem \(R=a \left( \sqrt{ \frac{2+\sqrt2}{2} } \right)\). Znając promień, wyliczysz długość boku, a pole ośmiokąta to pole 8 trójkątów równoramiennych o bokach \(a, \ 2, 2\) - wysokość wyznaczysz z Pitagorasa.
Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym wyraża się wzorem \(R=a \left( \sqrt{ \frac{2+\sqrt2}{2} } \right)\). Znając promień, wyliczysz długość boku, a pole ośmiokąta to pole 8 trójkątów równoramiennych o bokach \(a, \ 2, 2\) - wysokość wyznaczysz z Pitagorasa.
-
af25
- Rozkręcam się
- Posty: 76
- Rejestracja: 05 mar 2010, 15:30
- Podziękowania: 31 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
Dziękuję za pomysł z kwadratami.
Moje obliczenia:
a - długość boku ośmiokąta
\(a= \sqrt{8-4 \sqrt{2} }\)
h - wysokość trójkąta równoramiennego o bokach: a; 2; 2;
\(h= \sqrt{2+ \sqrt{2} }\)
2h - długość boku kwadratu
Pole figury = 2 razy pole kwadratu - pole ośmiokąta
\(P_f\) - pole szukanej figury (gwiazdy)
\(P_1\) - pole jednego kwadratu
\(P_2\) - pole ośmiokąta (pole 8 trójkątów równoramiennych)
\(P_1= \left( 2 \sqrt{2+ \sqrt{2} }\right) ^2=8+ 4\sqrt{2}\)
\(P_2=8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8-4 \sqrt{2} } \cdot \sqrt{2+ \sqrt{2} } =8 \sqrt{2}\)
\(P_f=2 \left( 8+4 \sqrt{2} \right)-8 \sqrt{2}=16\,cm^2\)
II sposób
Pomysł z kwadratami wykorzystałam do rozwiązania tego zadania w trochę inny sposób, ale bardzo zbliżony do podanego przez Ciebie.
Pole figury = pole kwadratu ABCD + 2 razy pole kwadratu o boku x - [patrz rysunek]
a - długość boku ośmiokąta
\(x\) - długość ramienia gwiazdy
\(x= \frac{a \sqrt{2} }{2}\)
y - długość boku kwadratu ABCD
\(y=a \sqrt{2}+a\)
\(P_f=y^2+2 \cdot x^2\)
\(P_f=2a^2+2a^2 \sqrt{2}+ a^2+2 \cdot \frac{1}{2} a^2=4a^2+2a^2 \sqrt{2} =a^2 \left( 4+2 \sqrt{2}\right)\)
Wykorzystując czerwony trójkąt prostokątny na rysunku i twierdzenie Pitagorasa można wyznaczyć \(a^2\):
\(a^2+ \left( a \sqrt{2}+a \right)^2=4^2\)
\(a^2=8-4 \sqrt{2}\)
\(P_f= \left(8-4 \sqrt{2} \right) \left(4+2 \sqrt{2} \right)= 32+16 \sqrt{2}-16 \sqrt{2} -16= 16\,cm^2\)
Moje obliczenia:
a - długość boku ośmiokąta
\(a= \sqrt{8-4 \sqrt{2} }\)
h - wysokość trójkąta równoramiennego o bokach: a; 2; 2;
\(h= \sqrt{2+ \sqrt{2} }\)
2h - długość boku kwadratu
Pole figury = 2 razy pole kwadratu - pole ośmiokąta
\(P_f\) - pole szukanej figury (gwiazdy)
\(P_1\) - pole jednego kwadratu
\(P_2\) - pole ośmiokąta (pole 8 trójkątów równoramiennych)
\(P_1= \left( 2 \sqrt{2+ \sqrt{2} }\right) ^2=8+ 4\sqrt{2}\)
\(P_2=8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8-4 \sqrt{2} } \cdot \sqrt{2+ \sqrt{2} } =8 \sqrt{2}\)
\(P_f=2 \left( 8+4 \sqrt{2} \right)-8 \sqrt{2}=16\,cm^2\)
II sposób
Pomysł z kwadratami wykorzystałam do rozwiązania tego zadania w trochę inny sposób, ale bardzo zbliżony do podanego przez Ciebie.
Pole figury = pole kwadratu ABCD + 2 razy pole kwadratu o boku x - [patrz rysunek]
a - długość boku ośmiokąta
\(x\) - długość ramienia gwiazdy
\(x= \frac{a \sqrt{2} }{2}\)
y - długość boku kwadratu ABCD
\(y=a \sqrt{2}+a\)
\(P_f=y^2+2 \cdot x^2\)
\(P_f=2a^2+2a^2 \sqrt{2}+ a^2+2 \cdot \frac{1}{2} a^2=4a^2+2a^2 \sqrt{2} =a^2 \left( 4+2 \sqrt{2}\right)\)
Wykorzystując czerwony trójkąt prostokątny na rysunku i twierdzenie Pitagorasa można wyznaczyć \(a^2\):
\(a^2+ \left( a \sqrt{2}+a \right)^2=4^2\)
\(a^2=8-4 \sqrt{2}\)
\(P_f= \left(8-4 \sqrt{2} \right) \left(4+2 \sqrt{2} \right)= 32+16 \sqrt{2}-16 \sqrt{2} -16= 16\,cm^2\)