Zadania z trygonometrii

[aleksandrapyrpec]

Proszę o pomoc w trzech zadankach.

1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(sin^4x-cos^4x = 6m - cos^22x\) ma co najmniej jedno rozwiązanie. Odpowiedź: \(m \in < -\frac{1}{24}, \frac{1}{3} >\)

2.Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(1 + sin^2(mx) = cosx\) ma tylko jedno rozwiązanie. Odpowiedź: \(m \in R \setminus W\)

3. Rozwiąż równania:
a)\(\log_{\sqrt{2}\sin x} (1+\cos x) = 2\)

b)\(log_{\cos x} (\sin x) + log _{\sin x }(\cos x) = 2\)

c)\(log_2 (\cos x) + \log_{\frac 12} (-\sin x) = 0\)

[ewelawwy]

3a)
\(\log_{\sqrt{2}\sin x} (1+\cos x) = 2\\
\{1)\; \sqrt2 \sin x>0\\
2)\; \sqrt2 \sin x\neq 1\\
3)\; 1+\cos x>0\)
\(1)\; \sin x>0 \; \Rightarrow \; x\in (2k\pi, 2k\pi + \pi),\; k\in C\\
2)\; \sin x\neq \frac 1{\sqrt2}\; \Rightarrow \; \sin x\neq \frac{\sqrt2}2\; \Rightarrow \; x\neq \frac{\pi}4+2k\pi \; \wedge \; x\neq \frac{3\pi}4 +2k\pi,\; k\in C\\
3)\; \cos x>-1 \; \Rightarrow \; \cos x\neq -1\; \Rightarrow \; x\neq \pi+2k\pi,\; k\in C\)
\(D_f:\; \underline{x\in (2k\pi, 2k\pi + \pi) \setminus \{\frac{\pi}4+2k\pi ; \frac{3\pi}4 +2k\pi\},\; k\in C}\)

\(\log_{\sqrt{2}\sin x} (1+\cos x) = 2\\
(\sqrt2\sin x)^2=1+\cos x\\
2\sin ^2x-1-\cos x=0\\
2(1-\cos ^2x)-1-\cos x=0\\
2-2\cos^2x-1-\cos x=0\\
2\cos^2x+\cos x-1=0\\
\cos x=t,\; t\in <-1,1>\\
2t^2+t-1=0\\
\Delta=1+8=9\\
t_1=-1\\
t_2=\frac 12\\
\cos x=-1\; \vee \; \cos x=\frac 12\\
x=\pi+2k\pi \notin D_f\; \vee \; x=\frac{\pi}3+2k\pi \; \vee \; x=-\frac{\pi}3+2k\pi\notin D_f,\; k\in C\)

zatem ostatecznie:
\(\underline{x=\frac{\pi}3+2k\pi,\; k\in C}\)

[ewelawwy]

3b)
\(log_{\cos x} (\sin x) + log _{\sin x }(\cos x) = 2\\
\sin x>0\; \Rightarrow \; x\in (2k\pi, \pi+2k\pi),\; k\in C\\
\cos x>0\; \Rightarrow \; x\in (-\frac{\pi}2+2k\pi,\frac{\pi}2+2k\pi),\; k\in C\\
\sin x\neq 1 \; \Rightarrow \; x\neq \frac {\pi}2+2k\pi,\; k\in C\\
\cos x\neq 1\; \Rightarrow \; x\neq 2k\pi,\; k\in C\\
\underline{D_f:\; x\in (2k\pi,\frac{\pi}2+2k\pi),\; k\in C}\)

\(\log_{\cos x} (\sin x) + \log _{\sin x }(\cos x) = 2\\
\frac{\log_{\sin x}(\sin x)}{\log_{\sin x}(\cos x)}+\log _{\sin x }(\cos x) = 2\\
\frac 1{\log_{\sin x}(\cos x)}+\log _{\sin x }(\cos x) = 2\\
\log_{\sin x}(\cos x)=t\\
\frac 1{t}+t-2=0/\cdot t\\
1+t^2-2t=0\\
(t-1)^2=0\\
t=1\\
\log_{\sin x}(\cos x)=1\\
\sin x=\cos x\\
x=\frac{\pi}4+k\pi,\; k\in C\)
ale \(x\in (2k\pi,\frac{\pi}2+2k\pi),\; k\in C\), więc ostatecznie:

\(\underline{x=\frac{\pi}4+2k\pi,\; k\in C}\)

[ewelawwy]

3c)
\(\log_2 (\cos x) + \log_{\frac 12} (-\sin x) = 0\\
\cos x>0 \; \wedge \; -\sin x >0 \; \Rightarrow \; \cos x>0 \; \wedge \; \sin x<0\\
x\in (-\frac{\pi}2+2k\pi,\frac{\pi}2+2k\pi) \; \wedge \; x\in (-\pi+2k\pi,2k\pi),\; k\in C\\
\underline{D_f:\; x\in (-\frac{\pi}2+2k\pi,2k\pi),\; k\in C}\)

\(\log_2 (\cos x) + \log_{\frac 12} (-\sin x) = 0\\
\log_2(\cos x)+\frac{\log _2(-\sin x)}{\log_2\frac 12}=0\\
\log_2(\cos x)-\log_2(-\sin x)=0\\
\log_2\frac{\cos x}{-\sin x}=0\\
2^0=\frac{\cos x}{-\sin x}\\
1=\frac{\cos x}{-\sin x}\\
\cos x=-\sin x\\
x=-\frac {\pi}4+k\pi\; \wedge\; x\in (-\frac{\pi}2+2k\pi,2k\pi) \; \Rightarrow \; \underline{x=-\frac {\pi}4+2k\pi, \; k\in C}\)

[irena]

1.
\(sin^2x-cos^4x=6m-cos^22x\\(sin^2x+cos^2x)(sin^2x-cos^2x)=6m-cos^22x\\1(sin^2x-cos^2x)=6m-cos^22x\\-cos2x=6m-cos^22x\\cos^22x-cos2x=6m\)

Po lewej stronie mamy funkcję kwadratową. Najmniejszą wartość ma ta funkcja dla \(cosx=\frac{1}{2}\).
Ta wartość jest równa
\(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\)

\(cosx\in<-1;\ 1>\\(-1)^2-(-1)=2\\1^2-1=0\)

Największą wartość ma ta funkcja dla \(cosx=-1\). Ta wartość jest równa 2.

\(-\frac{1}{4}\le 6m\le2\\m\in<-\frac{1}{24};\ \frac{1}{3}>\)

Można sprawdzić, czy ta funkcja dla wskazanego m ma rozwiązania:
\(cos^2x-cos2x-6m=0\\\Delta=1+24m>0\ \Leftrightarrow \ m\ge-\frac{1}{24}\)