Równania trygonometryczne 2

[aleksandrapyrpec]

Jeszcze kilka przykładów - wiem, że przynudzam, ale nie mam wprawy w tego typu zadaniach i za każdym razem dochodzę do jakiegoś momentu w którym nie wiem co dalej zrobić.

\(sinx + sin2x = sin3x\)

\(cosx = sin2x + cos3x\)

\(sin5x + sin3x = sin4x\)

\(sin^22x = sin3x + sinx\)

\(sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x\)

\(sinx sin2x = cosx cos2x\)

\(cosx sin7x = cos3x sin5x\)

[Galen]

\(sinx+sin2x=sin3x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;sin3x=sinx(3-4sin^2x)=sinx(3-4(1-cos^2x))=sinx(4cos^2x-1)\\
sinx+2sinxcosx-sinx(4cos^2x-1)=0\\
sinx(1+2cosx-4cos^2x+1)=0\\
sinx=0\;\;\;lub\;\;\;\;\;-4cos^2x+2cosx+2=0\;/:2
x_1=k \pi \;\;\;\;\;lub\;\;\;\;-2cos^2x+cosx+1=0\;\;\; \Delta =9\;\;\; \sqrt{ \Delta } =3\\
cosx=1\;\;\; \Rightarrow \;\;x_2=2k \pi \\
cosx= \frac{-1}{2}\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;x_3= \pm \frac{2}{3} \pi +2k \pi\)
Zbiór rozwiązań:
\(x=k \pi \;\;,\;\;x= \pm \frac{2}{3} \pi +2k \pi \;\;\;k \in C\)

[aleksandrapyrpec]

A jak można to zrobić nie wykorzystując wzoru na sin3x? (Mamy to wykonać bez niego)

[Galen]

Zastosuj wzór na sumę lub różnicę sinusów.Równanie pierwsze będzie teraz takie:
\(sin2x=sin3x-sinx\\sin2x=2 \cdot sin \frac{3x-x}{2} \cdot cos \frac{3x+x}{2}\\
sin2x=2 \cdot sinx \cdot cos2x\\
2sinx \cdot cos x-2sinx(2cos^2x-1)=0 \\
2sinx[cosx-2cos^2x+1]=0\\
sinx=0\;\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;-2cos^2x+cosx+1=0\)
Dalej już masz...

[aleksandrapyrpec]

Odpowiedź do przykładu który rozwiązałeś obejmuje tylko:

\(x = \frac{2k \pi }{3} \vee x=k \pi , k \in C\)

[aleksandrapyrpec]

A czemu skoro wyszło \(x_1, x_2, x_3\) to podałeś w rozwiązaniu tylko \(x_1\) i \(x_3\)?

[Galen]

Wynik obliczeń można uogólnić.
Wypisz kilka rozwiązań podstawiając za k liczby całkowite np.-2,-1,0,1,2.
Sama odpowiesz na postawione pytanie.

[domino21]

2.
\(\cos x=\sin 2x +\cos 3x
\cos x=\sin 2x +\cos (2x+x)
\cos x=2\sin x \cos x +\cos x\cos 2x -\sin x \sin 2x
\cos x =2\sin x \cos x +\cos x(1-2\sin^2 x) -2\sin^2 x \cos x
\cos x=2\sin x\cos x +\cos x -2\sin^2 x \cos x -2\sin ^2 x \cos x
4\sin^2 x \cos x -2\sin x \cos x=0
\sin x \cos x (2\sin x -1)=0
\sin x=0 \ \vee \ \cos x=0 \ \vee \ \sin x =\frac{1}{2}
x=k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{2} +k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{6} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{6} +2k\pi , \ k\in C
x=\frac{k\pi}{2} \ \vee \ x=\frac{\pi}{6} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{6} +2k\pi , \ k\in C\)

[aleksandrapyrpec]

Ja zadanie drugie zrobiłam tak:
\(cos x = sin2x + cos 3x\)
\(cosx - cos3x = sin2x\)
\(-2sin2xsin(-x)=sin2x\)
\(2sin2xsinx-sin2x=0\)
\(2sin2x(sinx-1)=0\)
\(2sin2x=0 \vee sinx =1\)
\(sin2x = 0 \vee sinx = 1\)

Czy mógłbyś mi jeszcze Domino powiedzieć jak dojść tą metodą do takiego wyniku jak doszedłeś Ty?

I czy mógłbyś mi powiedzieć, skąd bierzesz tyle anielskiej cierpliwości do rozwiązywania cudzych zadań? ^^

[domino21]

spójrz:

\(2sin2xsinx-sin2x=0\)
\(2sin2x(sinx-1)=0\)

tutaj źle wyłączyłaś sinusa przed nawias, powinno być tak:

\(2\sin 2x \sin x -\sin 2x=0
\sin 2x (2\sin x -1)=0
\sin 2x =0 \ \vee \ sin x =\frac{1}{2}\)

[aleksandrapyrpec]

O rrrrrraju, no faktycznie! A odpowiedź na drugie pytanie z poprzedniego postu?

[domino21]

podłączam się pod 230V i tak przez kilka godzin

[domino21]

3.
\(\sin 5x+\sin 3x =\sin 4x
2\sin 4x \cos x =\sin 4x
2\sin 4x \cos x -\sin 4x=0
\sin 4x(2\cos x -1)=0
\sin 4x=0 \ \vee \ \cos x=\frac{1}{2}
4x=k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{3} +2k\pi , \ k\in C
x=\frac{k\pi}{4} \ \vee \ x=\frac{\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{3} +2k\pi , \ k\in C\)

[domino21]

4.
\(\sin^2 2x =\sin 3x +\sin x
\sin ^2 2x=2\sin 2x \cdot \cos x
(2\sin x \cos x)^2= 2\cdot 2\sin x\cos x \cdot \cos x
4\sin^2 x \cos^2 x= 4 \sin x \cos^2 x
4\sin^2 x \cos^2 x -4\sin x \cos^2 x=0
4\sin x \cos^2 x (\sin x-1)=0
\sin x=0 \ \vee \ cos x= 0 \ \vee \ \sin x=1
x=k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{2} +k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{2} +2k\pi , \ k\in C
x=\frac{k\pi}{2} , \ k\in C\)

[aleksandrapyrpec]

Ale się popisujesz! ^^