Równania trygonometryczne

[aleksandrapyrpec]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu:

1. \(1 + cosx + \cos \frac{x}{2} = 0\)

2. \((sinx + cosx)^2 = cos2x\)

3. \(cos^4x - sin^4x = sin4x\)

4. \(sin^4x + cos^4x = cos4x\)

5. \(\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}\)

[aleksandrapyrpec]

Proszę o rozwiązanie, jutro mam sprawdzian i nie mam zielonego pojęcia jak się do tego zabrać.

[domino21]

1.
\(1+\cos x+\cos \frac{x}{2}=0
1+\cos(2\cdot \frac{x}{2})+\cos\frac{x}{2}=0
1+2\cos^2 \frac{x}{2} -1+\cos\frac{x}{2}=0
2\cos^2 \frac{x}{2} +\cos \frac{x}{2}=0
\cos\frac{x}{2} (2\cos\frac{x}{2}+1)=0
\cos \frac{x}{2}= 0 \ \vee \ \cos\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}
\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2} +k\pi \ \vee \ \frac{x}{2}=\frac{2\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ \frac{x}{2} =\frac{4\pi}{3} +2k\pi, \ k\in C
x=\pi +2k\pi \ \vee \ x=\frac{4\pi}{3} +4k\pi \ \vee \ x=\frac{8\pi}{3} +4k\pi , \ k\in C\)

[domino21]

2.
\((\sin x+\cos x)^2=\cos 2x
\sin^2x +2\sin x\ cosx +\cos^2 x=\cos 2x
1+2\sin x \cos x=1-2\sin^2 x
2\sin x\cos x+2\sin^2 x=0
\sin x(\cos x+\sin x)=0
\sin x=0 \ \vee \ \sin x=-\cos x
\sin x=0 \ \vee \ tg x=-1
x=k\pi \ \vee \ x=\frac{3\pi}{4} +k\pi , \ k\in C\)

[aleksandrapyrpec]

Dwa pierwsze extra! )))

[domino21]

3.
\(\cos^4 x-\sin ^4 x=\sin 4x
(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin ^2 x)=\sin (2\cdot 2x)
(\cos^2 x-\sin ^2 x)\cdot 1=2\sin 2x \cos 2x
\cos 2x=2\sin 2x\cos 2x
\cos 2x(1-2\sin 2x)=0
\cos 2x=0 \ \vee \ \sin 2x=\frac{1}{2}
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ 2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{5\pi}{6} +2k\pi, \ k\in C
x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \ \vee \ x=\frac{\pi}{12}+k\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{12} + k\pi, \ k\in C\)

[domino21]

4.
\(\sin^4 x+\cos^4 x=\cos 4x
\sin^4 x +2\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x -2\sin^2 x\cos^2 x=\cos (2\cdot 2x)
(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x \cos^2 x=1-2\sin ^2 2x
1-2\sin^2 x \cos^2 x=1-2\sin ^2 2x
\sin^2 x\cos^2 x=\sin^2 2x
4\sin^2x \cos^2 x=4\sin^2 2x
(2\sin x \cos x)^2=4\sin ^2 2x
\sin^2 2x=4\sin^2 2x
3\sin^2 2x=0
\sin 2x=0
2x=k\pi, k\in C
x=\frac{k\pi}{2} , \ k\in C\)

[aleksandrapyrpec]

Dziękuję bardzo!!!

[Galen]

Zad.5
Przejdź na jeden rodzaj funkcji.
\(sin^4( \frac{x}{3})=(1-cos^2( \frac{x}{3}))^2=1-2cos^2( \frac{x}{3})+cos^4( \frac{x}{3})\)
Równanie ma postać:
\(2cos^4( \frac{x}{3})-2cos^2 (\frac{x}{3})+ \frac{3}{8}=0\\
cos^2 \frac{x}{3}=t\;\;\;\;t \in <0;1>\\
2t^2-2t + \frac{3}{8}=0\\ \Delta =1\\
t_1= \frac{1}{4}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;cos^2 (\frac{x}{3})= \frac{1}{4}\;\; \Rightarrow \;\;cos( \frac{x}{3})= \frac{1}{2}\;\;\;lub\;\;\;cos (\frac{x}{3})=- \frac{1}{2}\)\\
\(\frac{x}{3}= \pm \frac{ \pi }{3}+2k \pi \;\;lub\;\; \frac{x}{3}= \pm \frac{2 \pi }{3}+2k \pi \\
x_1= \pm \pi +6k \pi \;\;\;lub\;\;\;x_2= \pm 2 \pi +6k \pi\)
\(t_2= \frac{3}{4}\\
cos^2( \frac{x}{3})= \frac{3}{4}\;\; \Rightarrow \;\;cos( \frac{x}{3})= \frac{ \sqrt{3} }{2}\;\;\;lub \;\;cos( \frac{x}{3})=- \frac{ \sqrt{3} }{2}\)
\(\frac{x}{3}= \pm \frac{ \pi }{6}+2k \pi \;\;\;\;lub\;\;\;\; \frac{x}{3}= \pm \frac{5}{6} \pi +2k \pi \\
x_3= \pm \frac{ \pi }{2}+6k \pi \;\;\;\;lub\;\;\;\;x_4= \pm \frac{5}{2} \pi+6k \pi\)

[domino21]

5.
\(\sin^4 \frac{x}{3} +\cos^4\frac{x}{3} =\frac{5}{8}
\sin^4\frac{x}{3} +2\sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3} +\cos^4 \frac{x}{3} -2\sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3} =\frac{5}{8}
(\sin^2 \frac{x}{3} +\cos^2 \frac{x}{3} )^2-2\sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3} =\frac{5}{8}
1-2\sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3} =\frac{5}{8}
2\sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3} =\frac{3}{8}
4\sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3}=\frac{6}{8}
(2\sin \frac{x}{3} \cos\frac{x}{3})^2=\frac{3}{4}
\sin^2 \frac{2x}{3} -\frac{3}{4}=0
(\sin \frac{2x}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2} )(\sin \frac{2x}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})=0
\sin \frac{2x}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \ \vee \ \sin \frac{2x}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{2x}{3}=\frac{\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ \frac{2x}{3}=\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \ \vee \ \frac{2x}{3}=\frac{4\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ \frac{2x}{3}=\frac{ 5\pi}{3} +2k\pi, \ k\in C
x=\frac{\pi}{2} +3k\pi \ \vee \ x=\pi +3k\pi \ \vee \ x=2\pi +3k\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{2} +3k\pi, \ k\in C\)

[aleksandrapyrpec]

Domino, mógłbyś jeszcze wytłumaczyć jak przeszedłeś z przedostatniej linijki rozwiązania do ostatniej linijki?
Czemu się pozmieniały mianowniki w odpowiedziach i w ogóle?

[domino21]

to jest to samo co w równaniu trzecim:

\(2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ 2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{5\pi}{6} +2k\pi, \ k\in C
x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \ \vee \ x=\frac{\pi}{12}+k\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{12} + k\pi, \ k\in C\)

tutaj podzieliłem przez 2, żeby wyłuskać samego x-a

a w tym przypadku pomnożyłem przez \(\frac{3}{2}\) ewentualnie podzieliłem przez to co stoi przy x-ie, na to samo wychodzi

nie wiem czy Cię zrozumiałem

[aleksandrapyrpec]

\(\frac{2x}{3}=\frac{\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \ \vee \ x=\frac{4\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{ 5\pi}{3} +2k\pi, \ k\in C
x=\frac{\pi}{2} +3k\pi \ \vee \ x=\pi +3k\pi \ \vee \ x=2\pi +3k\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{2} +3k\pi, \ k\in C\)

Znaczy generalnie zastanawia mnie na jakiej zasadzie np nagle z \(\ x=\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) zrobiło się \(\ x=\pi +3k\pi\).

[domino21]

o jaaaa

ale pochrzaniłem, w tym pierwszej linijce wszędzie powinno być \(\frac{2}{3}x = \ . \ . \ .\)

już poprawiam
brawo za spostrzegawczość

[aleksandrapyrpec]

Uffff... Już się przestraszyłam, że to ma związek z tym, że znów czegoś nie rozumiem.