Granica sumy ciągow

[DKVEB]

Oblicz granice sumy ciagow
\(\lim_{x\to \infty}[( \frac{n^2+3}{n^2+1})^{2n^2+5} + ( \sqrt{2} * \sqrt[4]{2} * \sqrt[8]{2} *....* \sqrt[2^n]{2})]\)
Z pierwszej częsci mi wychodzi \(e^4\) ale nie potrafie zrobic drugiej czesci i nie wiem pozniej jak to dodac, prosze o pomoc

[radagast]

\(\lim_{x\to \infty}( \frac{n^2+3}{n^2+1})^{2n^2+5}=\lim_{x\to \infty}(1+ \frac{2}{n^2+1})^{2n^2+5}= \lim_{x\to \infty}((1+ \frac{2}{n^2+1})^{ \frac{n^2+1}{2} })^4=e^4\)

[radagast]

\(\lim_{n\to \infty } ( \sqrt{2} * \sqrt[4]{2} * \sqrt[8]{2 } *....* \sqrt[2^n]{2}) =\lim_{n\to \infty } (2^{ \frac{1}{2}} \cdot 2^{ \frac{1}{4} } \cdot 2^{ \frac{1}{8}} \cdot ... \cdot 2^{ \frac{1}{2^n}} )=\lim_{n\to \infty } (2^{ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ ...\frac{1}{2^n}} )=2^{ \frac{ \frac{1}{2} }{1- \frac{1}{2} }}=2\)

[radagast]

Ostatecznie:
\(\lim_{x\to \infty}[( \frac{n^2+3}{n^2+1})^{2n^2+5} + ( \sqrt{2} * \sqrt[4]{2} * \sqrt[8]{2} *....* \sqrt[2^n]{2})]=e^4+2\)

[radagast]

Wiesz, DKVEB, ja tam trochę namąciłam. Miałeś rację ta pierwsza granica jest \(e^4\) (a nie tak jak wcześniej napisałam \(e^8\)). Poprawiłam, a widzę,że juz przeczytałeś .

[DKVEB]

dzieki

[cules91]

a jeszcze mam jedno pytanko, skad Ci wyszlo ze ten drugi ciag ostatecznie daje\(2^{\frac{\frac{1}{2}}{1- \frac{1}{2} }}\) mysle nad tym i nie moge do tego dojsc...

[anka]

Wykładnik dwójki to suma ciągu geometrycznego.