Zad 10,11

[konercik1015]

10. Jakie wymiary powinien mieć graniastosłup o podstawie kwadratowej, aby jego objętość była równa 4cm2, a pole powierzchni wynosiło 18cm2?
11. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

[irena]

10.
a- krawędź podstawy
H- wysokość
\(a^2H=4\\2a^2+4aH=18\\H=\frac{4}{a^2}\\2a^2+4a\cdot\frac{4}{a^2}=18\\2a^2+\frac{16}{a}-18=0\ /\cdot\ a\\2a^3-18a+16=0\ /:2\\a^3-9a+8=0\\a^3-a^2+a^2-a-8a+8=0\\a^3-a^2+a^2-a-8a+8=0\\a^2(a-1)+a(a-1)-8(a-1)=0\\(a-1)(a^2+a-8)=0\\a-1=0\ \vee\ a^2+a-8=0\\a_1=1\\\Delta=1+32=33\\a_2=\frac{-1-\sqrt{33}}{2}<0\ \vee\ a_3=\frac{\sqrt{33}-1}{2}\\a=1\ \vee\ a=\frac{\sqrt{33}-1}{2}\\H_1=\frac{4}{1^2}=4\\H_2=\frac{4}{(\frac{\sqrt{33}-1}{2})^2}=\frac{16}{34-2\sqrt{33}}=\frac{8}{17-\sqrt{33}}=\frac{8(17+\sqrt{33})}{289-33}=\frac{17+\sqrt{33}}{32}\)

\(\begin{cases}a=1\\H=4 \end{cases} \ \ \vee\ \ \begin{cases}a=\frac{\sqrt{33}-1}{2}\\H=17+\sqrt{33} \end{cases}\)

Sprawdź, proszę, moje rachunki

[irena]

2.

a- krawędź podstawy
H- wysokość

\(\frac{H}{6}=sin60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\\H=3\sqrt{3}cm\)

\(\frac{a\sqrt{2}}{6}=cos60^0=\frac{1}{2}\\a=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}cm\)

Objętość:
\(V=a^2H\\V=\frac{9}{2}\cdot3\sqrt{2}=\frac{27\sqrt{3}}{2}cm^3\)

Pole powierzchni:
\(P_c=2a^2+4aH\\P_c=2\cdot\frac{9}{2}+4\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot3\sqrt{3}=9+18\sqrt{3}=9(1+2\sqrt{6})cm^2\)

[konercik1015]

dziękuje