trójkąt równoboczny i promienie okregów wpisanych

[mnn]

Na boku BC trójkąta równobocznego obrano punkt D tak, że promień okręgu wpisanego w trójkąt ADC jest dwa razy mniejszy niż promień okręgu wpisanego w trójkąt ABD. W jakim stosunku punkt D dzieli bok BC?

[escher]

Wskazówka:
pole trójkąta to iloczyn promienia okręgu wpisanego i połowy obwodu.
escher

[mnn]

Próbowałem w ten sposób kombinować, ale prowadzi to do paskudnych rachunków. Do obliczenia obwodu tych trójkątów potrzebuję długości AD, którą można uzyskać dzięki tw. cosinusów, jednak wynikiem jest nieciekawy pierwiastek i za bardzo nie wiem co z tym dalej zrobić :/

[radagast]

No to jeszcze jedna wskazówka: Jeśli okrąg jest wpisany w kąt, to odległość od wierzckołka do punktu styczności na obu ramionach jest jednakowa.

[radagast]

Wyszło mi \(\frac{ \sqrt{33}+1 }{16}\) i nijak nie chce być inaczej.

[escher]

No dobra z pierwszą wskazówką się pospieszyłem, chyba jednak nie wystarcza.

Nie wstawię rysunku więc będzie ciężko, ale niech:
\(S, T, U\) punkty styczności większego okręgu wpisanego do \(BD, AD\) i \(AB\)
\(X, Y, Z\) punkty styczności mniejszego okręgu do \(CD, AC\) i \(AD\).
\(O_1, O_2\) środki mniejszego i większego okręgu wpisanego.

Mamy podobieństwo czworokątów (par odpowiednich trójkątów) \(DXO_1Z\) i \(O_2SDT\), skąd
\(\frac{2r}{DS}=\frac{DX}{r}\)

Ponadto z równości odpowiednich odcinków stycznych i podobieństwa czworokątów "przy wierzchołkach \(B\) i \(C\)
Jeśli \(CX=x, AB=a\), to \(BS=2x, AU=a-2x=AT, AY=a-x=AZ\), czyli \(TZ=x\),
teraz \(DS=DX+x\) i już w zasadzie wszystko da się wyliczyć, bo \(r=x\tan 30^\circ\).

Mój wynik jest trochę inny niz radagasta, więc nie wiem kto z nas się myli
mi wyszło
\(\frac{3+\frac{\sqrt{33}}{3}}{ 1+\frac{\sqrt{33}}{3} }=(1+\sqrt{33})/4\), ale wynik niewątpliwie zawiera pierwiastek z 33.

Numeryczne obliczenia pokazały mi, że moja odpowiedź jest błędna, a radagast ma rację.
escher

[mnn]

Tak, wyszło mi tak samo jak radagastowi Zabrakło mi właśnie tych zależności wynikających z podobieństwa czworokątów i dlatego nic mi nie wychodziło.Dziękuję za pomoc, pozdrawiam

[funneh]

Witam.
Skąd \(DS=DX+x\)?

[colo]

A skąd wiadomo, że BS=2x???

[Crazy Driver]

Witam.
Skąd \(DS=DX+x\)?

Słuszna uwaga, bo to nieprawda.

Korzystamy tutaj z "Najmocniejszego twierdzenia geometrii", które mówi, że jeśli z punktu \(P\) leżącego poza pewnym okręgiem poprowadzimy do niego styczne i styczne te przetną okrąg w punktach \(A\) i \(B\), to
\(|PA|=|PB|\).

Stosując to twierdzenie do większego okręgu i punktów \(D,S,Z\), a następnie do mniejszego i \(D,X,T\), otrzymujemy

\(|DS|=|DT|\)

\(|DX|=|DZ|=|DT|+|TZ|=|DS|+x\)

a więc \(|DS|=|DX|-x\)

[Crazy Driver]

A skąd wiadomo, że BS=2x???

Zapewne z tego jakiegoś podobieństwa czworokątów, którego ja niestety nie widzę. Sam za to jestem ciekaw, czym w rozwiązaniu jest \(r\).

[colo]

Crazy Driver, czy tam nie powinno być: DT-TZ=DT-x, wiec DX=DS-x, czyli DS=DX+x??

[Crazy Driver]

Ok, rzecz polega na tym, że ja założyłem, że \(|DZ|>|DT|\) i wtedy będzie tak, jak mówię. Jeśli \(|DZ|<|DT|\) będzie tak, jak mówisz. Na razie nie widzę który wariant jest prawdą.