hej potrzebuje rozwiązania takiego zadania
1.wykaż ze liczba \(11^{10}-1\) jest podzielna przez 10
2.\((10^n+2)^2\) n naturalne jest podzielne przez 9
Podzielność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Mamy pokazać, że liczba \(11^{10}-1\) dzieli się przez 10.
Ze znanego wzoru (dwumian Newtona) mamy:
\(n \in N\\(a+b)^n= {n \choose 0} a^nb^0+ {n \choose 1} a^{n-1}b^1+ {n \choose 2} a^{n-2}b^2+...+ {n \choose n-2} a^2b^{n-2}+ {n \choose n-1} a^1b^{n-1}+ {n \choose n} a^0b^n\)
Każdy ze współczynników: \({n \choose 0} ,\ {n \choose 1} ,\ ...,\ {n \choose n}\) jest liczbą naturalną.
W tym przypadku:
\(11^{10}-1=(10+1)^{10}-1=\\= {10 \choose 0} 10^{10}\cdot1^0+ {10 \choose 1} 10^9\cdot1^1+ {10\choose 2} 10^8\cdot1^2+...+ {10 \choose 7} 10^3\cdot1^7+ {10 \choose 8} 10^2\cdot1^8+ {10 \choose 9} 10^1\cdot1^9+ {10 \choose 10} 10^0\cdot1^{10}-1=\\=10^{10}+ {10 \choose 1} \cdot10^9+ {10 \choose 2} \cdot10^8+...+ {10 \choose 8}\cdot10^2+ {10 \choose 9} \cdot10+1-1=\\=10^{10}+ {10 \choose 1} \cdot10^9+...+ {10 \choose 8} \cdot10^2+ {10 \choose 9} \cdot10=\\=10(10^9+ {10 \choose 1} \cdot10^8+ {10 \choose 2} \cdot10^7+...+ {10 \choose 8} \cdot10+ {10 \choose 9})\)
Ponieważ liczba \(c=10^9+ {10 \choose 1} + {10 \choose 2} +...+ {10 \choose 8} + {10 \choose 9}\) jest liczba naturalną i \(11^{10}-1=10c\), więc liczba \(11^{10}-1\) dzieli sie przez 10.
P. S. Współczynniki: \({10 \choose k}\), gdzie k=1, 2, 3,... ,9, 10 można obliczyć z tzw. trójkąta Pascala
Mamy pokazać, że liczba \(11^{10}-1\) dzieli się przez 10.
Ze znanego wzoru (dwumian Newtona) mamy:
\(n \in N\\(a+b)^n= {n \choose 0} a^nb^0+ {n \choose 1} a^{n-1}b^1+ {n \choose 2} a^{n-2}b^2+...+ {n \choose n-2} a^2b^{n-2}+ {n \choose n-1} a^1b^{n-1}+ {n \choose n} a^0b^n\)
Każdy ze współczynników: \({n \choose 0} ,\ {n \choose 1} ,\ ...,\ {n \choose n}\) jest liczbą naturalną.
W tym przypadku:
\(11^{10}-1=(10+1)^{10}-1=\\= {10 \choose 0} 10^{10}\cdot1^0+ {10 \choose 1} 10^9\cdot1^1+ {10\choose 2} 10^8\cdot1^2+...+ {10 \choose 7} 10^3\cdot1^7+ {10 \choose 8} 10^2\cdot1^8+ {10 \choose 9} 10^1\cdot1^9+ {10 \choose 10} 10^0\cdot1^{10}-1=\\=10^{10}+ {10 \choose 1} \cdot10^9+ {10 \choose 2} \cdot10^8+...+ {10 \choose 8}\cdot10^2+ {10 \choose 9} \cdot10+1-1=\\=10^{10}+ {10 \choose 1} \cdot10^9+...+ {10 \choose 8} \cdot10^2+ {10 \choose 9} \cdot10=\\=10(10^9+ {10 \choose 1} \cdot10^8+ {10 \choose 2} \cdot10^7+...+ {10 \choose 8} \cdot10+ {10 \choose 9})\)
Ponieważ liczba \(c=10^9+ {10 \choose 1} + {10 \choose 2} +...+ {10 \choose 8} + {10 \choose 9}\) jest liczba naturalną i \(11^{10}-1=10c\), więc liczba \(11^{10}-1\) dzieli sie przez 10.
P. S. Współczynniki: \({10 \choose k}\), gdzie k=1, 2, 3,... ,9, 10 można obliczyć z tzw. trójkąta Pascala
2.
\((10^n+2)^2=(10^n)^2+2\cdot10^n\cdot2+4=10^{2n}+4\cdot10^n+4\)
Można podzielność tej liczby przez 9 uzasadnić, rozpatrując sumę cyfr liczby.
Dla każdego naturalnego n liczba ta ma postać: \(10...040...04\). Ilość zer między cyfrą 1 a pierwszą czwórką jest taka sama, jak liczba zer między czwórkami. Ta liczba jest równa (n-1).
Suma cyfr tej liczby jest równa 9, więc liczba dzieli się przez 9.
Można też udowodnić taką podzielność stosując indukcję matematyczną.
a)
Niech n=1
\((10^1+2)^2=12^2=144=9\cdot16\)
Dla n=1 liczba ta dzieli się przez 9.
b0
Załóżmy, że dla pewnego naturalnego k liczba \((10^k+2)^2\) dzieli się przez 9.
Wykażemy, że wynika z tego podzielność przez 9 liczby \((10^{k+1}+2)^2\)
Założenie:
\(k \in N\\(10^k+2)^2=9p,\ \ p \in N\)
Teza:
\((10^{k+1}+2)^2=9t,\ \ t \in N\)
Dowód:
\((10^{k+1}+2)^2=(10^{k+1})^2+2\cdot10^{k+1}\cdot2+2^2=10^{2k+2}+4\cdot10^{k+1}+4=100\cdot10^{2k}+4\cdot10\cdot10^k+4=\\=10^{2k}+99\cdot10^{2k}+4\cdot10^k+9\cdot4\cdot10^k+4=\\=(10^{2k}+4\cdot10^k+4)+99\cdot10^{2k}+9\cdot4\cdot10^k=\\=(10^k+2)^2+9(11\cdot10^{2k}+4\cdot10^k)=9p+9(11\cdot10^{2k}+4\cdot10^k)=9(p+11\cdot10^{2k}+4\cdot10^k)\\p+11\cdot10^{2k}+4\cdot10^k=t \in N\\(10^{k+1}+2)^2=9t\)
wykazaliśmy tym samym, że dla każdego naturalnego n liczba \((10^n+2)^2\) dzieli się przez 9.
\((10^n+2)^2=(10^n)^2+2\cdot10^n\cdot2+4=10^{2n}+4\cdot10^n+4\)
Można podzielność tej liczby przez 9 uzasadnić, rozpatrując sumę cyfr liczby.
Dla każdego naturalnego n liczba ta ma postać: \(10...040...04\). Ilość zer między cyfrą 1 a pierwszą czwórką jest taka sama, jak liczba zer między czwórkami. Ta liczba jest równa (n-1).
Suma cyfr tej liczby jest równa 9, więc liczba dzieli się przez 9.
Można też udowodnić taką podzielność stosując indukcję matematyczną.
a)
Niech n=1
\((10^1+2)^2=12^2=144=9\cdot16\)
Dla n=1 liczba ta dzieli się przez 9.
b0
Załóżmy, że dla pewnego naturalnego k liczba \((10^k+2)^2\) dzieli się przez 9.
Wykażemy, że wynika z tego podzielność przez 9 liczby \((10^{k+1}+2)^2\)
Założenie:
\(k \in N\\(10^k+2)^2=9p,\ \ p \in N\)
Teza:
\((10^{k+1}+2)^2=9t,\ \ t \in N\)
Dowód:
\((10^{k+1}+2)^2=(10^{k+1})^2+2\cdot10^{k+1}\cdot2+2^2=10^{2k+2}+4\cdot10^{k+1}+4=100\cdot10^{2k}+4\cdot10\cdot10^k+4=\\=10^{2k}+99\cdot10^{2k}+4\cdot10^k+9\cdot4\cdot10^k+4=\\=(10^{2k}+4\cdot10^k+4)+99\cdot10^{2k}+9\cdot4\cdot10^k=\\=(10^k+2)^2+9(11\cdot10^{2k}+4\cdot10^k)=9p+9(11\cdot10^{2k}+4\cdot10^k)=9(p+11\cdot10^{2k}+4\cdot10^k)\\p+11\cdot10^{2k}+4\cdot10^k=t \in N\\(10^{k+1}+2)^2=9t\)
wykazaliśmy tym samym, że dla każdego naturalnego n liczba \((10^n+2)^2\) dzieli się przez 9.