losowanie liczby spełniającej równanie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
crybe
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 25
Rejestracja: 27 lut 2023, 18:44
Podziękowania: 16 razy
Płeć:

losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: crybe »

Ze zbioru liczb \([-5,5]\) losujemy liczbę \(m\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że równanie \(2x^2 + (m-1)+2=0\) będzie sprzeczne?
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1999
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 481 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: janusz55 »

Losujemy jedną liczbę ze zbioru liczb całkowitych \( A = [ -5, -4,-3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]. \)

Zbiór wszystkich możliwych wyników losowań liczby

\( \Omega = [ -5, -4,-3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]. \)

\( S \) zdarzenie " równanie kwadratowe \( 2x^2 +(m-1)x +2 = 0 \) jest sprzeczne"

Równanie kwadratowe jest sprzeczne (nie ma rozwiązań), gdy jego wyróżnik \( \Delta < 0. \)

\( \Delta = (m-1)^2 -4\cdot 2 \cdot 2 = (m-1)^2 - 16 = ( m-1 -4)(m-1 +4) = (m-5)(m+3).\)

\( \Delta = (m-5)(m+3)< 0 \leftrightarrow m\in (-3, 5) = \{-2,-1,0,1,2,3,4 \}\)

Zakładamy, że wszystkie losowania liczby są jednakowo możliwe.

\( P(S) = \frac{|S|}{|\Omega|} = \frac{7}{11}.\)

Losując jedną liczbę ze zbioru \( A \) możemy oczekiwać, że w około \( 64\% \) ogólnej liczby wyników, dla wylosowanej liczby \( m \) równanie kwadratowe będzie sprzeczne.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3789
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2050 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: Jerry »

Zakładając, że
crybe pisze: 25 lis 2024, 21:39 Ze zbioru liczb \([-5,5]\) losujemy liczbę \(m\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że równanie \(2x^2 + (m-1)\color{red}{x}+2=0\) będzie sprzeczne?
to, wg mnie, nikt nie napisał, że parametr jest całkowity i
\[|\Omega|=10,\ |A|=8\]
bo miarą przedziału jest jego średnica. Skąd
\[p(A)=0,8\]
Pozdrawiam
crybe
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 25
Rejestracja: 27 lut 2023, 18:44
Podziękowania: 16 razy
Płeć:

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: crybe »

m oczywiście należy do zbioru liczb rzeczywistych, a przy wyrażeniu (m-1) nie ma x.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3789
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2050 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: Jerry »

crybe pisze: 26 lis 2024, 01:12 ... przy wyrażeniu (m-1) nie ma x.
W takim razie, choć zapis jest "dziwny", mamy
\[2x^2 + (m-1)+2=0\iff x^2 = {1\over2}(-m-1)\]
i równanie jest sprzeczne, o ile
\[-m-1<0\iff m\in(-1;+\infty)\cap[-5;5]=(-1;5].\]
Wtedy
\[|A|=6\So p(A)=0,6\]
Pozdrawiam

"
maria19
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 414
Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
Podziękowania: 347 razy
Otrzymane podziękowania: 97 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: maria19 »

crybe pisze: 26 lis 2024, 01:12 m oczywiście należy do zbioru liczb rzeczywistych, a przy wyrażeniu (m-1) nie ma x.
Jeżeli m losujemy że zbioru \(\rr\) to zadanie wykracza poza program szkoły średniej.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3789
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2050 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: Jerry »

maria19 pisze: 26 lis 2024, 20:37 Jeżeli m losujemy że zbioru \(\rr\) to zadanie wykracza poza program szkoły średniej.
Nie, bo
crybe pisze: 25 lis 2024, 21:39 Ze zbioru liczb \([-5,5]\) losujemy liczbę \(m\)....
Pozdrawiam
maria19
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 414
Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
Podziękowania: 347 razy
Otrzymane podziękowania: 97 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: maria19 »

A ile jest liczb w tym zbiorze?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3789
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2050 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: Jerry »

Zbiór ten jest równoliczny z \(\rr\), czyli \(\overline{\overline{[-5;5]}}=\mathfrak c\); ale jego miara jest skończona: \(|[-5;5]|=10\) :idea:

Pozdrawiam
PS. Polecam strony od 25

\[\mathfrak c\]
maria19
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 414
Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
Podziękowania: 347 razy
Otrzymane podziękowania: 97 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: maria19 »

Równoliczne są i owszem ale tych liczb jest nieskończenie wiele i dlatego wykracza to poza program liceum na co wskazuje również plik dołączony z Politechniki Poznańskiej.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1999
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 481 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: janusz55 »

Jest to typowe zadanie na klasyczny skończony schemat prawdopodobieństwa, a nie na prawdopodobieństwo geometryczne (odległość dwóch punktów \( (-5,0), (5,0)).\) W treści zadania losujemy jedną liczbę ze ze zbioru.

Autor posta nie dokładnie przepisał treść zadania.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3789
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2050 razy

Re: losowanie liczby spełniającej równanie

Post autor: Jerry »

maria19 pisze: 27 lis 2024, 14:10 ... wykracza to poza program liceum ...
Aksjomatyka p-wa jest w kanonie, a omawiany problem mieści się w tym temacie i ja go realizuję!

Pozdrawiam
PS. janusz55: przeczytaj, proszę, ze zrozumieniem podlinkowany przeze mnie dokument.