Trójkąty w kwadracie

[coter]

W kwadracie o boku 1 umieszczono dwa identyczne trójkąty równoboczne, które nie mają wspólnego
punktu wewnętrznego. Udowodnij, że wysokość trójkąta równobocznego nie przekracza połowy
długości przekątnej kwadratu.

[Tulio]

Załóżmy, że przekracza. Tj. że \(h>\frac{\sqrt{2}}{2}\). Wtedy bok trójkąta równobocznego wynosi \(a>\frac{\sqrt{6}}{3}\). Spróbujmy wsadzić w kwadrat dwa trójkąty równoboczne z \(a=\frac{\sqrt{6}}{3}\).
Możemy to (spróbować) zrobić na dwa sposoby.
Pierwszy: Jeden bok trójkąta leży na boku kwadratu. Wysokość trójkąta wtedy jest równoległa do jednego z boków kwadratu. Chcemy zmaksymalizować taką sytuację:

Wtedy dla \(a=\frac{\sqrt{6}}{3}\) i \(A \left( 0,0\right) \)
otrzymujemy:
\(B \left( 1,0\right), E \left( 1-\frac{\sqrt{6}}{3},0\right), D \left( 0,1\right), F \left( \frac{\sqrt{6}}{3},1\right) \)
Liczymy współrzędne punktu \(G\) jako miejsce przecięcia prostej \(x=1-\frac{\sqrt{6}}{6}\) i okręgu o środku w punkcie \(S \left( 1, 0\right) \) i promieniu \(\frac{\sqrt{6}}{3}\). Dostaniemy:
\(G \left( 1-\frac{\sqrt{6}}{6}, \sqrt{\frac{4\sqrt{6}}{3}-\frac{11}{4}}\right) \)
Budujemy prostą \(EG\) - ja pozwolę sobie zapisać to w postaci znanego wzoru:
\(EG: y=\frac{\sqrt{\frac{4\sqrt{6}}{3}-\frac{11}{4}}-0}{1-\frac{\sqrt{6}}{6}- \left( 1-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) }x+ \sqrt{\frac{4\sqrt{6}}{3}-\frac{11}{4}}-\frac{\sqrt{\frac{4\sqrt{6}}{3}-\frac{11}{4}}-0}{1-\frac{\sqrt{6}}{6}- \left( 1-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) }\cdot \left( 1-\frac{\sqrt{6}}{6}\right) \)
\(y=\sqrt{8\sqrt{6}-\frac{33}{2}}x-\sqrt{\frac{73\sqrt{6}}{3}-\frac{119}{2}}\)
Znajdując miejsce przecięcia tej prostej z \(y=1\) otrzymujemy:
\(x=\frac{6+\sqrt{876\sqrt{3}-2142}}{3\sqrt{32\sqrt{6}-66}}\approx 0,752\)
Czyli przed punktem \(F\), a to znaczy, odcinki \(EG\) i \(HF\) nachodzą na drugi trójkąt. Sprzeczność.

Drugi sposób to umieszczenie trójkąta pod kątem w taki sposób:

gdzie \(\alpha=15^\circ\). Dokonując analogicznych, morderczych, obliczeń dojdziemy, że punkty \(E,F,G,H\) leżą na prostej \(AC\) i że jest możliwe takie ustawienie trójkąta dla \(a=\frac{\sqrt{6}}{3}\) i jest to ustawienie maksymalne. Dla większego \(a\) otrzymujemy nałożenie się trójkątów.

Należałoby jeszcze wykazać, że wszelkich sytuacji pośrednich między tymi dwoma ustawieniami trójkątów nie ma sensu analizować.