Trójkąt prostokątny

[marupi]

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB. Odcinek CD jest wysokością trójkąta ABC. Punkty P, Q, R są środkami
odpowiednio odcinków CD, AD, BD. Udowodnić, że \(|\angle APB| + |\angle QCR| = 180^\circ\).

[anka]

\(\angle APB + \angle QCR = 180^o\\
\angle APB=\alpha\\
\angle QCR =\beta\)

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie długości tego boku.

Z trójkąta CAD
\(PQ \parallel AC\\
|PQ|=\frac{1}{2}|AC|\)

Z trójkąta CDB
\(PR \parallel BC\\
|PR|=\frac{1}{2}|BC|\\\)
czyli trójkąt PQR jest prostokątny
\(xy=z^2\\
x=\frac{z^2}{y}\\
y=\frac{z^2}{x}\)

Trójkąt PAD
\(tg\gamma=\frac{z}{2x}=\frac{z}{2\cdot \frac{z^2}{y}}=\frac{y}{2z}\)

Trójkąt PDB
\(tg\delta=\frac{z}{2y}=\frac{z}{2\cdot \frac{z^2}{x}}=\frac{x}{2z}\)

Trójkąt CQR
\(\beta=\angle QCD+\angle DCR\\
tg\angle QCD=\frac{x}{2z}=tg\delta\\
|\angle QCD|=\delta\\
tg\angle DCR=\frac{y}{2z}=tg\gamma\\
|\angle DCR|=\gamma\)
czyli
\(\beta=\delta+\gamma\)

Trójkąt APB
Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa \(180^o\).
\(\alpha+\gamma+\delta=180^o\\
\alpha+\beta=180^o\\
\angle APB + \angle QCR = 180^o\)

[Jerry]

Albo:

1. Z \(\Delta ADC\sim\Delta DBC\ (k,k)\) można wywnioskować \(\Delta AQC\sim\Delta CBP\) oraz \(\Delta APC\sim\Delta RBC\),
2. z \(\Delta QDP\sim\Delta ADC\ (b,k,b)\) oraz \(\Delta DRP\sim\Delta DBC\ (b,k,b)\),
3. wykorzystując własności trapezu,

można zrobić schludny rysunek z przyjętymi oznaczeniami

i zapisać:
\[|\angle APB|+|\angle QCR|=(\alpha+90^\circ+\beta)+(90^\circ-\alpha-\beta)=180^\circ\qquad\text{CKD}\]
Pozdrawiam