Znajdź kąt

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 189
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 16 razy
Otrzymane podziękowania: 47 razy
Płeć:

Znajdź kąt

Post autor: Tulio »

Dostałem taki rysunek/zadanie - Należy obliczyć miarę kąta \(ECA\):
823b212c-e044-4ee6-9be8-91a4b9957b1c.jpg
Po wyliczeniu najprostszych rzeczy, namalowaniu w geogebrze i uzależnieniu wszystkiego od kąta \(AEC\) mam:
geogebra.png
Co można dalej z tym zrobić? Widać, że kąty są wyznaczone jednoznacznie. Bardzo się upierając można by to rozkminić w analitycznej, ale wygląda "syfiaście". Jakiś pomysły?

PS. Zauważyłem, że wszystkie kąty są wielokrotnością \(3^\circ\)
PS2. Odpowiedź to \(12^\circ\) i tak w geogebrze wychodzi.
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3512
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1923 razy

Re: Znajdź kąt

Post autor: Jerry »

Po linii najmniejszego oporu...
Niech \(|\angle ECA|=\alpha,\ |AB|=1\) (z dokładnością do podobieństwa). Wtedy (z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkątach prostokątnych):
  1. \(|BD|=\sin33^\circ,\ |AD|=\cos33^\circ\)
  2. \(|ED|=\sin33^\circ\cdot\tg39^\circ\)
  3. \(|DC|=\cos33^\circ\cdot\tg15^\circ\)
  4. \(\tg(75^\circ-\alpha)=\dfrac{\sin33^\circ\cdot\tg39^\circ}{\cos33^\circ\cdot\tg15^\circ}=\dfrac{\tg33^\circ\cdot\tg39^\circ}{\tg15^\circ}\color{green}{\approx1,962\approx\tg63^\circ}\\
    \alpha=75^\circ-\arctg\dfrac{\tg33^\circ\cdot\tg39^\circ}{\tg15^\circ}\color{green}{\approx12^\circ}\)
Można postawić hipotezę:
\[\tg33^\circ\cdot\tg39^\circ=\tg15^\circ\cdot\tg63^\circ\]
ale mnie zabrakło na jej dowód samozaparcia...

Pozdrawiam
PS. Wśród moich pomysłów było również: odbiłem symetrycznie prawą stronę rysunku względem wysokości i zauważyłem istnienie równoramiennego trójkąta, który napawał mnie nadzieją... ale nie potrafiłem tego wykorzystać :?
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 189
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 16 razy
Otrzymane podziękowania: 47 razy
Płeć:

Re: Znajdź kąt

Post autor: Tulio »

Dostałem niby-rozwiązanie:
dbc4c1c0-63a6-4813-ab71-4bbe8f34dc4c.jpg
Próbując przełożyć ten hieroglif na coś użytecznego mamy takie kroki (kontynuując mój obrazek).
1. Kąt \(18°\) dzielimy na \(3°\) i \(15°\) - dlaczego tak? Po pierwsze jak już zauważyłem: kąty są wielokrotnością \(3°\), a po drugie - przy kącie \(A\) mamy już \(15°\) i mamy nadzieję, że "coś się wydarzy" - zaznaczamy w ten sposób punkt \(B'\) na odcinku \(AC\) i \(A'\) na \(AD\). Zauważmy, że nie powstał żaden kąt któregobyśmy nie znali:
002-min.png
Po prawej mamy powiększenie trójkąta AB'A'. Załatwiliśmy pierwszą kreskę (zieloną) widoczną na niby-rozwiązaniu

2. Dzieląc teraz kąt \(51°\) jak tam na \(15°, 18°, 18°\) - dostaniemy trójkąt równoramienny \(15°, 15°, 150°\). Jeszcze nie wiemy jak co dokładnie więc wyekstrahujmy tylko ten \(15°\) i \(36°\):
003-min.png
3. Popatrzmy w powiększeniu na te trójkąciki przy \(B'\):
[Tutaj się okazało, że forum nie dopuszcza więcej niż trzech obrazków, przenoszę się do następnego posta)
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 189
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 16 razy
Otrzymane podziękowania: 47 razy
Płeć:

Re: Znajdź kąt

Post autor: Tulio »

3. Popatrzmy w powiększeniu na te trójkąciki przy \(B'\):
004-min.png
4. Ta sama sytuacja teraz:
005-min.png
5. Teraz połączmy odcinek \(FC\) i przecięcie oznaczmy \(G\) oraz zaznaczmy tam kąt \(\alpha\):
006-min.png
i w tym miejscu autor ledwo-do-odczytania rozwiązania twierdzi, że trójkąt \(BCF\) jest równoramienny. Z drugiej strony twierdzi, że odcinek \(EB'\) dzieli kąt \(B'\) na dwie równe części (jest dwusieczną kąta \(B'\)) - mimo zaznaczenia wszystkiego co się dało - nie widzę tego.
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.