Znajdź kąt

[Tulio]

Dostałem taki rysunek/zadanie - Należy obliczyć miarę kąta \(ECA\):

823b212c-e044-4ee6-9be8-91a4b9957b1c.jpg

Po wyliczeniu najprostszych rzeczy, namalowaniu w geogebrze i uzależnieniu wszystkiego od kąta \(AEC\) mam:

geogebra.png

Co można dalej z tym zrobić? Widać, że kąty są wyznaczone jednoznacznie. Bardzo się upierając można by to rozkminić w analitycznej, ale wygląda "syfiaście". Jakiś pomysły?

PS. Zauważyłem, że wszystkie kąty są wielokrotnością \(3^\circ\)
PS2. Odpowiedź to \(12^\circ\) i tak w geogebrze wychodzi.

[Jerry]

Po linii najmniejszego oporu...
Niech \(|\angle ECA|=\alpha,\ |AB|=1\) (z dokładnością do podobieństwa). Wtedy (z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkątach prostokątnych):

1. \(|BD|=\sin33^\circ,\ |AD|=\cos33^\circ\)
2. \(|ED|=\sin33^\circ\cdot\tg39^\circ\)
3. \(|DC|=\cos33^\circ\cdot\tg15^\circ\)
4. \(\tg(75^\circ-\alpha)=\dfrac{\sin33^\circ\cdot\tg39^\circ}{\cos33^\circ\cdot\tg15^\circ}=\dfrac{\tg33^\circ\cdot\tg39^\circ}{\tg15^\circ}\color{green}{\approx1,962\approx\tg63^\circ}\\
   \alpha=75^\circ-\arctg\dfrac{\tg33^\circ\cdot\tg39^\circ}{\tg15^\circ}\color{green}{\approx12^\circ}\)

Można postawić hipotezę:

\[\tg33^\circ\cdot\tg39^\circ=\tg15^\circ\cdot\tg63^\circ\]

ale mnie zabrakło na jej dowód samozaparcia...

Pozdrawiam
PS. Wśród moich pomysłów było również: odbiłem symetrycznie prawą stronę rysunku względem wysokości i zauważyłem istnienie równoramiennego trójkąta, który napawał mnie nadzieją... ale nie potrafiłem tego wykorzystać

[Tulio]

Dostałem niby-rozwiązanie:

dbc4c1c0-63a6-4813-ab71-4bbe8f34dc4c.jpg

Próbując przełożyć ten hieroglif na coś użytecznego mamy takie kroki (kontynuując mój obrazek).
1. Kąt \(18°\) dzielimy na \(3°\) i \(15°\) - dlaczego tak? Po pierwsze jak już zauważyłem: kąty są wielokrotnością \(3°\), a po drugie - przy kącie \(A\) mamy już \(15°\) i mamy nadzieję, że "coś się wydarzy" - zaznaczamy w ten sposób punkt \(B'\) na odcinku \(AC\) i \(A'\) na \(AD\). Zauważmy, że nie powstał żaden kąt któregobyśmy nie znali:

002-min.png

Po prawej mamy powiększenie trójkąta AB'A'. Załatwiliśmy pierwszą kreskę (zieloną) widoczną na niby-rozwiązaniu

2. Dzieląc teraz kąt \(51°\) jak tam na \(15°, 18°, 18°\) - dostaniemy trójkąt równoramienny \(15°, 15°, 150°\). Jeszcze nie wiemy jak co dokładnie więc wyekstrahujmy tylko ten \(15°\) i \(36°\):

003-min.png

3. Popatrzmy w powiększeniu na te trójkąciki przy \(B'\):
[Tutaj się okazało, że forum nie dopuszcza więcej niż trzech obrazków, przenoszę się do następnego posta)

[Tulio]

3. Popatrzmy w powiększeniu na te trójkąciki przy \(B'\):

004-min.png

4. Ta sama sytuacja teraz:

005-min.png

5. Teraz połączmy odcinek \(FC\) i przecięcie oznaczmy \(G\) oraz zaznaczmy tam kąt \(\alpha\):

006-min.png

i w tym miejscu autor ledwo-do-odczytania rozwiązania twierdzi, że trójkąt \(BCF\) jest równoramienny. Z drugiej strony twierdzi, że odcinek \(EB'\) dzieli kąt \(B'\) na dwie równe części (jest dwusieczną kąta \(B'\)) - mimo zaznaczenia wszystkiego co się dało - nie widzę tego.