rozklad poissona

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
igor234
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 09 sty 2024, 12:51
Płeć:

rozklad poissona

Post autor: igor234 »

Nie mam pojecia jak to wykonać
Wyprowadzić wzory na średnią i wariancję w rozkładzie Poissona.

bardzo prosze o pomoc bo potrzebuje bardzo rozwiazania tego zadania
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1679
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 437 razy

Re: rozklad poissona

Post autor: janusz55 »

\( P(k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}, \ \ k= 0,1,2,...\)

\( m = \sum_{k=0}^{\infty} ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\lambda \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}= e^{-\lambda}\lambda \sum_{l=0}^{\infty} \frac{\lambda^{l}}{l!} = e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda} = \lambda.\)

Aby znaleźć wariancję \( \sigma^2 \) rozkładu obliczymy najpierw jego drugi moment zwykły \( m_{2}\) i odejmiemy kwadrat wartości oczekiwanej.

\( m_{2}= \sum_{k=0}^{\infty} k^2\frac{\lambda^{k}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} + \lambda = e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{l=0}^{\infty} \frac{\lambda^{l}}{l!} +\lambda = e^{-\lambda}\lambda^2e^{\lambda}+\lambda = \lambda^2 +\lambda. \)

\( \sigma^2 = m_{2} - m^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda.\)