Macierze
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1654
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Macierze
\( \begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 & 3 \\ -2 & -6 & 0 & 13 \\ 0 & -3 & 1 & 3 \\ -1 & -4 & 0 & 8 \end{bmatrix} \)
Wyznaczamy wielomian charakterystyczny macierzy \( A \)
\( \phi(\lambda) = \det( A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & -3 & 0 &3 \\ -2 & -6-\lambda & 0 & 13 \\ 0 &-3 & 1-\lambda & 3 \\ -1 &-4 & 0 & 8-\lambda \end{bmatrix} \)
\( \phi(\lambda) = \lambda^4 -4\lambda^3 +6\lambda^2 - 4\lambda + 1 = ( \lambda -1)^4 \)
Wielomian charakterystyczny ma pierwiastek czterokrotny \( \lambda_{1}= \lambda_{2} = \lambda_{3}= \lambda_{4} = \lambda = 1.\)
Wartość własna ma krotność algebraiczną równą \( 4, \) więc suma bloków formy Jordana macierzy może być równa cztery.
Zatem postać Jordana macierzy \( A \) może składać z
- czterech bloków pierwszego stopnia;
- dwóch bloków drugiego stopnia;
- jednego bloku pierwszego stopnia i jednego bloku trzeciego stopnia;
- jednego bloku czwartego stopnia.
O ilości bloków odpowiadających danej wartości własnej \( \lambda \) decyduje jej krotność geometryczna- ilość wektorów własnych.
Tak więc musimy obliczyć wektory własne macierzy \( A \)
\( \lambda = 1\)
\( \begin{bmatrix} 0 & -3 & 0 & 3 \\-2 & -7 & 0 & 13 \\ 0 & -3 & 0 & 3 \\ -1 & -4 & 0 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
Stąd
\( \begin{cases} 0a -3b +0c +3d = 0 \\ -2a -7b +0c +13c = 0 \\ 0a -3b +0c + 3d = 0 \\ -a -4b +0c +7d = 0 \end{cases} \)
Z równania trzeciego \( b = d \) podstawiamy do równania czwartego i otrzymujemy \( a = 3b \) , c -dowolna liczba rzeczywista na przykład \( 0. \)
Otrzymaliśmy jeden wektor własny na przykład dla \( b = 1\)
\( \vec{w} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}.\)
KIedy mamy niedobór wektorów własnych, to aby wyznaczyć macierz przekształcenia potrzebujemy więcej tak zwanych uogólnionych wektorów własnych.
Sprawdzamy, czy takie istnieją
\( \begin{bmatrix} 0 & -3 & 0 & 3 \\-2 & -7 & 0 & 13 \\ 0 & -3 & 0 & 3 \\ -1 & -4 & 0 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
Stąd
\( \begin{cases} 0\cdot 3 -3\cdot 1 +0\cdot 0 +3\cdot 1 = 0 \\ -2\cdot 3 -7\cdot 1 +0\cdot 0 +13\cdot 1 = 0 \\ 0\cdot 3 -3\cdot 1 +0\cdot0 + 3\cdot 1 = 0 \\ -1\cdot 3 -4\cdot 1 +0\cdot 1 +7\cdot 1= 0 \end{cases} \)
Otrzymaliśmy układ nieoznaczony. Uogólnione wektory wektory własne macierzy \( A \) nie istnieją.
Macierz \( A \) posiada jeden wektor własny \( \vec{w} \) oznacza to, że jej forma Jordana składa się z jednej klatki czwartego stopnia.
Panie Bartku
Niech Pan nauczy się podstaw edytora \( \LaTeX. \). Przyda się na przyszłość.
Wyznaczamy wielomian charakterystyczny macierzy \( A \)
\( \phi(\lambda) = \det( A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & -3 & 0 &3 \\ -2 & -6-\lambda & 0 & 13 \\ 0 &-3 & 1-\lambda & 3 \\ -1 &-4 & 0 & 8-\lambda \end{bmatrix} \)
Kod: Zaznacz cały
>> A=[1 -3 0 3; -2 -6 0 13; 0 -3 1 3; -1 -4 0 8]
A =
1 -3 0 3
-2 -6 0 13
0 -3 1 3
-1 -4 0 8
>> charpoly(A)
ans =
1 -4 6 -4 1
Kod: Zaznacz cały
>> eig(A)
ans =
1.0000 + 0.0000i
1.0000 + 0.0000i
1.0000 + 0.0000i
1.0000 - 0.0000i
Wartość własna ma krotność algebraiczną równą \( 4, \) więc suma bloków formy Jordana macierzy może być równa cztery.
Zatem postać Jordana macierzy \( A \) może składać z
- czterech bloków pierwszego stopnia;
- dwóch bloków drugiego stopnia;
- jednego bloku pierwszego stopnia i jednego bloku trzeciego stopnia;
- jednego bloku czwartego stopnia.
O ilości bloków odpowiadających danej wartości własnej \( \lambda \) decyduje jej krotność geometryczna- ilość wektorów własnych.
Tak więc musimy obliczyć wektory własne macierzy \( A \)
\( \lambda = 1\)
\( \begin{bmatrix} 0 & -3 & 0 & 3 \\-2 & -7 & 0 & 13 \\ 0 & -3 & 0 & 3 \\ -1 & -4 & 0 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
Stąd
\( \begin{cases} 0a -3b +0c +3d = 0 \\ -2a -7b +0c +13c = 0 \\ 0a -3b +0c + 3d = 0 \\ -a -4b +0c +7d = 0 \end{cases} \)
Z równania trzeciego \( b = d \) podstawiamy do równania czwartego i otrzymujemy \( a = 3b \) , c -dowolna liczba rzeczywista na przykład \( 0. \)
Otrzymaliśmy jeden wektor własny na przykład dla \( b = 1\)
\( \vec{w} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}.\)
KIedy mamy niedobór wektorów własnych, to aby wyznaczyć macierz przekształcenia potrzebujemy więcej tak zwanych uogólnionych wektorów własnych.
Sprawdzamy, czy takie istnieją
\( \begin{bmatrix} 0 & -3 & 0 & 3 \\-2 & -7 & 0 & 13 \\ 0 & -3 & 0 & 3 \\ -1 & -4 & 0 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
Stąd
\( \begin{cases} 0\cdot 3 -3\cdot 1 +0\cdot 0 +3\cdot 1 = 0 \\ -2\cdot 3 -7\cdot 1 +0\cdot 0 +13\cdot 1 = 0 \\ 0\cdot 3 -3\cdot 1 +0\cdot0 + 3\cdot 1 = 0 \\ -1\cdot 3 -4\cdot 1 +0\cdot 1 +7\cdot 1= 0 \end{cases} \)
Otrzymaliśmy układ nieoznaczony. Uogólnione wektory wektory własne macierzy \( A \) nie istnieją.
Macierz \( A \) posiada jeden wektor własny \( \vec{w} \) oznacza to, że jej forma Jordana składa się z jednej klatki czwartego stopnia.
Kod: Zaznacz cały
>> J = jordan(A)
J =
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Niech Pan nauczy się podstaw edytora \( \LaTeX. \). Przyda się na przyszłość.
-
- Witam na forum
- Posty: 3
- Rejestracja: 14 lut 2024, 16:39
- Płeć:
Re: Macierze
Dobry wieczór, Panie Januszu, właściwie po co my liczmy ten wektor własny, skoro dużo wcześniej, wyliczając pierwiastek równania wraz z krotnością jesteśmy wstanie zrobić postać z klatką ?
Otrzymaliśmy jeden wektor własny na przykład dla \( b = 1\)
\( \vec{w} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}.\)
Otrzymaliśmy jeden wektor własny na przykład dla \( b = 1\)
\( \vec{w} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}.\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1654
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Macierze
Macierz może mieć tzw. uogólnione wektory własne i wtedy ilość i rozmiar klatek w formie Jordana może ulec zmianie.
Znajdując wektor własny i upewniając się o braku wektorów uogólnionych (dołączonych) stwierdziliśmy, że występuje jedna klatka czwartego stopnia.
Znajdując wektor własny i upewniając się o braku wektorów uogólnionych (dołączonych) stwierdziliśmy, że występuje jedna klatka czwartego stopnia.