Liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Liczby zespolone
Korzystając z własności na liczbach zespolonych, wyprowadzić wzory na cos(2a+B) i sin(2a+B) oraz cos(a + B + y) i sin(a + B + y)
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Liczby zespolone
\( \cos( 2a +B),\ \ \sin(2a +B). \)
Najpierw korzystając z własności liczb zespolonych wyprowadzimy tożsamości trygonometryczne na sinus i kosinus podwojonego argumentu.
Przypomnijmy wzór L. Eulera wiążący postać wykładniczą z postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
\( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x), \ \ x\in \rr.\)
\( e^{2x} = e^{x}\cdot e^{x} = (\cos(x) + i\sin(x))\cdot (\cos(x) + i\sin(x)) =[\cos(x) + i\sin(x)]^2 = \cos^2(x)+ 2i\sin(x)\cos(x) - \sin^2(x) = \)
\( = [\cos^2(x)-\sin^2(x) + 2i \sin(x)\cos(x)] = \cos(2x) + i\sin(2x) \)
Stąd
\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x), \ \ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \ \ (*)\)
Ponownie korzystamy ze wzoru Eulera
\( e^{i(2a +B)} = e^{i2a}e^{iB} =\cos(2a +B)+i\sin(2a + B)=[\cos(2a) + i\sin(2a)][\cos(B)+i\sin(B)]=[\cos(2a)\cos(B) +i\sin(B)\cos(2a)+i \sin(2a)\cos(B)-\sin(2a)\sin(B)]= \)
\( = [\cos(2a)\cos(B) - \sin(2a)\sin(B) + i( \sin(B)\cos(2a) + \sin(2a)\cos(B))] = \)
Wykorzystamy wzory \( (*) \)
\( = [(\cos^2(a)-\sin^2(a)\cos(B) -2\sin(a)\cos(a)\sin(B) +i (\sin(B)(\cos^2(a)-\sin^2(a)) + 2\sin(a)\cos(a)\cos(B))] \)
Stąd
\( \cos(2a +B) = \cos^2(a)-\sin^2(a)\cos(B) -2\sin(a)\cos(a)\sin(B), \ \ \sin(2a +B) = \sin(B)(\cos^2(a)-\sin^2(a)) + 2\sin(a)\cos(a)\cos(B)).\)
Podobnie można wyprowadzić wzory na kosinus i sinus sumy trzech argumentów, wykorzystując wyżej wyprowadzone wzory na sinus i kosinus sumy dwóch argumentów.
Najpierw korzystając z własności liczb zespolonych wyprowadzimy tożsamości trygonometryczne na sinus i kosinus podwojonego argumentu.
Przypomnijmy wzór L. Eulera wiążący postać wykładniczą z postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
\( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x), \ \ x\in \rr.\)
\( e^{2x} = e^{x}\cdot e^{x} = (\cos(x) + i\sin(x))\cdot (\cos(x) + i\sin(x)) =[\cos(x) + i\sin(x)]^2 = \cos^2(x)+ 2i\sin(x)\cos(x) - \sin^2(x) = \)
\( = [\cos^2(x)-\sin^2(x) + 2i \sin(x)\cos(x)] = \cos(2x) + i\sin(2x) \)
Stąd
\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x), \ \ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \ \ (*)\)
Ponownie korzystamy ze wzoru Eulera
\( e^{i(2a +B)} = e^{i2a}e^{iB} =\cos(2a +B)+i\sin(2a + B)=[\cos(2a) + i\sin(2a)][\cos(B)+i\sin(B)]=[\cos(2a)\cos(B) +i\sin(B)\cos(2a)+i \sin(2a)\cos(B)-\sin(2a)\sin(B)]= \)
\( = [\cos(2a)\cos(B) - \sin(2a)\sin(B) + i( \sin(B)\cos(2a) + \sin(2a)\cos(B))] = \)
Wykorzystamy wzory \( (*) \)
\( = [(\cos^2(a)-\sin^2(a)\cos(B) -2\sin(a)\cos(a)\sin(B) +i (\sin(B)(\cos^2(a)-\sin^2(a)) + 2\sin(a)\cos(a)\cos(B))] \)
Stąd
\( \cos(2a +B) = \cos^2(a)-\sin^2(a)\cos(B) -2\sin(a)\cos(a)\sin(B), \ \ \sin(2a +B) = \sin(B)(\cos^2(a)-\sin^2(a)) + 2\sin(a)\cos(a)\cos(B)).\)
Podobnie można wyprowadzić wzory na kosinus i sinus sumy trzech argumentów, wykorzystując wyżej wyprowadzone wzory na sinus i kosinus sumy dwóch argumentów.
Re: Liczby zespolone
Czy mógłby Pan przedstawić także rozwiązanie dla cos(a + B + y) i sin(a + B + y), nie jest to takie jasne
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Liczby zespolone
Niech \(2\alpha = \alpha +y \)
Stąd
\( \alpha = \frac{\alpha+y}{2} \)
Na podstawie wyżej wyprowadzonych wzorów:
\( \cos(\alpha +y +B) = = \left[\cos^2\left(\frac{\alpha+y}{2}\right) -\sin^2\left(\frac{\alpha+y}{2}\right) \right] \cos(B) -\sin(\alpha +y)\sin(B) =\cos(\alpha +y)\cos(B) -\sin(\alpha+y)\sin(B). \)
\( \sin(\alpha +y +B) = \cos(\alpha +y)\sin(B) + \sin(\alpha +y)\cos(B).\)
Stąd
\( \alpha = \frac{\alpha+y}{2} \)
Na podstawie wyżej wyprowadzonych wzorów:
\( \cos(\alpha +y +B) = = \left[\cos^2\left(\frac{\alpha+y}{2}\right) -\sin^2\left(\frac{\alpha+y}{2}\right) \right] \cos(B) -\sin(\alpha +y)\sin(B) =\cos(\alpha +y)\cos(B) -\sin(\alpha+y)\sin(B). \)
\( \sin(\alpha +y +B) = \cos(\alpha +y)\sin(B) + \sin(\alpha +y)\cos(B).\)
Re: Liczby zespolone
Doszedłem do czegoś takiego dla \( 2 \alpha = a + b\):
\(e^{a+b+y} = e^{i(a+b)} * e^{i(y)} = (\cos(a+y) + i \sin (a+y))*( \cos(y) + i \sin(y)) =
\cos (2 \alpha) + i \sin( 2 \alpha) * ( \cos(y) + \sin(y) )= \)
\(=(\cos^2( \frac{a+b}{2}) - \sin^2 (\frac{a+b}{2}) + 2i \sin(\frac{a+b}{2}) \cos(\frac{a+b}{2})))*(\cos(y)+i\sin(y))\)
\(e^{a+b+y} = e^{i(a+b)} * e^{i(y)} = (\cos(a+y) + i \sin (a+y))*( \cos(y) + i \sin(y)) =
\cos (2 \alpha) + i \sin( 2 \alpha) * ( \cos(y) + \sin(y) )= \)
\(=(\cos^2( \frac{a+b}{2}) - \sin^2 (\frac{a+b}{2}) + 2i \sin(\frac{a+b}{2}) \cos(\frac{a+b}{2})))*(\cos(y)+i\sin(y))\)
Re: Liczby zespolone
Panie Januszu, czy użycie wzoru e^(i(a+B+y))= (cos(a)+isin(a))⋅(cos(B)+isin(B))⋅(cos(y)+isin(y))... i wymnożenie wszystkie oraz późniejsze rozdzielenie na część urojoną i rzeczywistą też będzie dobrym rozwiązaniem?
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Liczby zespolone
Też będzie dobrym rozwiązaniem. Jak napisałem wcześniej nie jest konieczne rozwijanie kosinusa i sinusa trzech argumentów ze wzoru Eulera.
Można wykorzystać wcześniej wykonane rozwinięcie sinusa i kosinusa dwóch argumentów, łącząc w sumę jeden argument. Później sumę uwzględnić w końcowym wzorze.
Można wykorzystać wcześniej wykonane rozwinięcie sinusa i kosinusa dwóch argumentów, łącząc w sumę jeden argument. Później sumę uwzględnić w końcowym wzorze.