Niezależnośc liniowa wektorów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 11 sty 2024, 22:12
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Niezależnośc liniowa wektorów
Sprawdzić czy wektory u,v są liniowo niezależne, jeżeli:
u=2a−b, v=a+3b, ||a||=1, ||b||=2, a∘b=−2.
u, v są liniowo zależne ⇔ (u*v)^2 = u^2 v^2
u^2 = 4a^2 −4a*b + b^2 = 4 - 4*(-2) + 4 = 4+8+4=16
v^2 = a^2 + 6a*b + 9b^2 = 1 − 12 + 36 = 25
u*v = 2a^2 +5ab -3b^2 = 2 + (-10) -3*4= 2 - 10 - 12 = -20
Wektory są liniowo niezależne
Czy to jest dobrze?
u=2a−b, v=a+3b, ||a||=1, ||b||=2, a∘b=−2.
u, v są liniowo zależne ⇔ (u*v)^2 = u^2 v^2
u^2 = 4a^2 −4a*b + b^2 = 4 - 4*(-2) + 4 = 4+8+4=16
v^2 = a^2 + 6a*b + 9b^2 = 1 − 12 + 36 = 25
u*v = 2a^2 +5ab -3b^2 = 2 + (-10) -3*4= 2 - 10 - 12 = -20
Wektory są liniowo niezależne
Czy to jest dobrze?
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 11 sty 2024, 22:12
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
A przepraszam są liniowo zależne ponieważ
u^2*u^2= (u*v)^2
u^2*u^2= 16*25=400
(u*v)^2= (-20)^2=400
Teraz dobrze?
u^2*u^2= (u*v)^2
u^2*u^2= 16*25=400
(u*v)^2= (-20)^2=400
Teraz dobrze?
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Pierwszy sposób - geometryczny
Z własności iloczynu skalarnego i normy wektora:
\( \vec{u}\circ \vec{v} = (2a -b) \circ (a+3b) = 2a^2 + 6 a\circ b -ab -3b^2 = +2a^2 +5a\circ b -3b^2 = 2\cdot 1^2 +5\cdot (-2)+ 3\cdot 2^2 = 2-10 +12 =4.\)
\( ||\vec{u}||^2 = u^2 = (2a-b)\circ (2a-b) = 4a^2 -4ab +b^2 = 4\cdot 1^2 -4(-2) +2^2 = 4 +8 +4 = 16,\)
\( ||\vec{u}||= \sqrt{16} = 4.\)
\( ||\vec{v}||^2 = (a +3b)^2 = a^2 + 6a\circ b + 9b^2 = 1^2 +6\cdot (-2) + 9\cdot (2)^2 = 1 -12 +36 = 25.\)
\( ||\vec{v}|| = \sqrt{25} = 5.\)
\( \cos(\angle \vec{u},\vec{v}) = \cos(\phi) = \frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}||} = \frac{4}{4\cdot 5} = \frac{4}{20} =
\frac{1}{5}.\)
\( \phi = \arccos \left(\frac{1}{5}\right) \approx 78,5^{o}. \)
Kąt między wektorami \( \vec{u}, \vec{v} \) jest różny od \( 0^{o} \) i \( 180^{o} \) - wektory są liniowo - niezależne.
Drugi sposób - algebraiczny
Z definicji liniowej niezależności wektorów:
\(\alpha \cdot \vec{u} + \beta\cdot \vec{v} = \alpha\cdot (2a -b) + \beta\cdot (a + 3b) = 2\alpha \cdot a -\alpha\cdot b + \beta a +3\beta\cdot b = 0,\)
\( (2\alpha+\beta ) a + (-\alpha + 3\beta)b = 0,\)
\( \begin{cases} 2\alpha+\beta =0 \\ -\alpha + 3\beta =0. \end{cases}\)
Z rozwiązania tego układu równań \( \alpha = 0 , \ \ \beta = 0.\)
Wektory \( \vec{u}, \vec{v} \) są liniowo - niezależne.
Z własności iloczynu skalarnego i normy wektora:
\( \vec{u}\circ \vec{v} = (2a -b) \circ (a+3b) = 2a^2 + 6 a\circ b -ab -3b^2 = +2a^2 +5a\circ b -3b^2 = 2\cdot 1^2 +5\cdot (-2)+ 3\cdot 2^2 = 2-10 +12 =4.\)
\( ||\vec{u}||^2 = u^2 = (2a-b)\circ (2a-b) = 4a^2 -4ab +b^2 = 4\cdot 1^2 -4(-2) +2^2 = 4 +8 +4 = 16,\)
\( ||\vec{u}||= \sqrt{16} = 4.\)
\( ||\vec{v}||^2 = (a +3b)^2 = a^2 + 6a\circ b + 9b^2 = 1^2 +6\cdot (-2) + 9\cdot (2)^2 = 1 -12 +36 = 25.\)
\( ||\vec{v}|| = \sqrt{25} = 5.\)
\( \cos(\angle \vec{u},\vec{v}) = \cos(\phi) = \frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}||} = \frac{4}{4\cdot 5} = \frac{4}{20} =
\frac{1}{5}.\)
\( \phi = \arccos \left(\frac{1}{5}\right) \approx 78,5^{o}. \)
Kąt między wektorami \( \vec{u}, \vec{v} \) jest różny od \( 0^{o} \) i \( 180^{o} \) - wektory są liniowo - niezależne.
Drugi sposób - algebraiczny
Z definicji liniowej niezależności wektorów:
\(\alpha \cdot \vec{u} + \beta\cdot \vec{v} = \alpha\cdot (2a -b) + \beta\cdot (a + 3b) = 2\alpha \cdot a -\alpha\cdot b + \beta a +3\beta\cdot b = 0,\)
\( (2\alpha+\beta ) a + (-\alpha + 3\beta)b = 0,\)
\( \begin{cases} 2\alpha+\beta =0 \\ -\alpha + 3\beta =0. \end{cases}\)
Z rozwiązania tego układu równań \( \alpha = 0 , \ \ \beta = 0.\)
Wektory \( \vec{u}, \vec{v} \) są liniowo - niezależne.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
@ janusz55
Czyż z tego
A skoro tak, to jakim cudem ich kombinacje liniowe są liniowo niezależne?
I to dubeltowo!
W dodatku sugerowano inną odpowiedź tu:
PS
Sposób pierwszy zawiera błędy rachunkowe, a drugi merytoryczne.
Czyż z tego
nie wynika, że wektory a i b mają przeciwne zwroty ?
A skoro tak, to jakim cudem ich kombinacje liniowe są liniowo niezależne?
I to dubeltowo!
W dodatku sugerowano inną odpowiedź tu:
Karolinka1231231 pisze: ↑12 sty 2024, 16:56 są liniowo zależne ponieważ
u^2*u^2= (u*v)^2
u^2*u^2= 16*25=400
(u*v)^2= (-20)^2=400
PS
Sposób pierwszy zawiera błędy rachunkowe, a drugi merytoryczne.
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Z ujemności iloczynu skalarnego nie wynika, że wektory mają przeciwne zwroty, bo mogą tworzyć kąt \( \phi \in ( 90^{0}, 180^{o}).\)
Ponadto nie badamy liniowej niezależności wektorów \( \vec{a}, \vec{b} \) tylko liniową niezależność wektorów \( \vec{u} \) i \( \vec{v}, \) które są ich kombinacjami liniowymi.
.
Ponadto nie badamy liniowej niezależności wektorów \( \vec{a}, \vec{b} \) tylko liniową niezależność wektorów \( \vec{u} \) i \( \vec{v}, \) które są ich kombinacjami liniowymi.
.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Owszem, z samej ujemności iloczynu skalarnego nie wynika, że wektory mają przeciwne zwroty, lecz dla tych danych
widać, iż tak właśnie jest.
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Zamiast \( -2 \) powinno być \(2\) i wtedy norma \( ||\vec{u}||= 0.\)
Mamy jeden wektor zerowy i przyjmuje się, że ich kombinacja liniowa jest liniowo -zależna.
Dzięki kerajs.
Mamy jeden wektor zerowy i przyjmuje się, że ich kombinacja liniowa jest liniowo -zależna.
Dzięki kerajs.
Ostatnio zmieniony 13 sty 2024, 09:28 przez janusz55, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Hm, moim zdaniem |u|=4 . (pisanie ||u|| to lekkie nadużycie)
więc ...... .
Jakie jest uzasadnienie tej uwagi?
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 11 sty 2024, 22:12
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Tu nie powinno wyjść -20?
-3b^2 nagle zmienia się w +12 a powinno być moim zdaniem -12
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 11 sty 2024, 22:12
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
I wtedy wychodzi -20/20 czyli 1 a cos(1) =0 i wektory sa liniowo zależne. Tak?
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Pani Karolinko odwrotnie:
\( \cos(0) = 1. \) Wtedy \( \vec{u} \circ \vec{v} = ||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}|| \) - wektory są liniowo zależne.
\( \cos(0) = 1. \) Wtedy \( \vec{u} \circ \vec{v} = ||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}|| \) - wektory są liniowo zależne.
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 11 sty 2024, 22:12
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Aha no tak
Ale moja uwaga co do tego -20 i ostatecznie tego ze wektory są liniowo zależne jest poprawna?
Ale moja uwaga co do tego -20 i ostatecznie tego ze wektory są liniowo zależne jest poprawna?