Ekstremum globalne

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
matematymek
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 23 lut 2021, 20:15
Płeć:

Ekstremum globalne

Post autor: matematymek »

Rozważmy następującą funkcję (czasami zwaną funkcją Peano):
\(
f(x_1, x_2)=(x_2^2-x_1)(x_2^2-2x_1).
\)

1. Udowodnij, że funkcja f ograniczona do każdej prostej przechodzącej przez 0 ma w tym punkcie minimum lokalne.
2. Wykaż, że f jako funkcja wielu zmiennych nie ma ekstremum lokalnego w 0.
3. Znajdź wartości własne macierzy drugiej pochodnej f. Co możesz z nich wywnioskować? Czy tłumaczą one zachowanie funkcji f w 0?
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1323
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 372 razy

Re: Ekstremum globalne

Post autor: janusz55 »

1)
Podstawienie \( x_{2} = m \cdot x_{1}\) i sprawdzenie istnienia minimum lokalnego w zerze funkcji \( f(x_{1}, m\cdot x_{1}).\)

2)
Zbadanie, czy istnieje ekstremum lokalne funkcji \( f(x_{1},x_{2}) \) (dwóch zmiennych).

3)
Zapisanie macierzy drugiej różniczki funkcji [tex} f(x_{1}, x_{2}).[/tex]
Obliczenie wartości własnych tej macierzy \( \lambda_{i}, \ \ i = 1,2. \)
Zbadanie określoności macierzy drugie różniczki na podstawie znaków wartości własnych.
Zbadanie zachowania się funkcji \( f(x_{1}, x_{2}) \) w zerze (dla wektora zerowego).