\(\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n} \cos(\frac{1}{n})\)
Zbadaj zbieżność podanego szeregu. Próbuje porównawczym i wydaje mi się że będzie rozbieżny, ale nie wiem jaką funkcja to ograniczyć.
Zbadaj zbieżność szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1654
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 429 razy
Re: Zbadaj zbieżność szeregu
Pierwszy sposób
Jeśli narysujemy na jednym wykresie we współrzędnych prostokątnych fragmenty wykresów funkcji \( y = \cos(x), \ \ 0 < x <\frac{\pi}{2} \) i \( y = \frac{1}{2}, \) to zauważymy że spełniona jest nierówność
\( \frac{1}{2}< \cos\left(\frac{1}{n}\right). \)
Stąd
\( 0 < \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}< \frac{1}{n}\cos(\left(\frac{1}{n}\right) \) dla każdego \( n\in \nn \)
Ponadto szereg \( \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny rzędu pierwszego.
Na podstawie kryterium porównanwczego rozbieżności szeregów szereg dany jest rozbieżny.
Drugi sposób
Kryterium porównawcze z szeregiem
\( \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} sin\left(\frac{2}{n}\right) \)
i wykazanie rozbieżności tego szeregu.
Proszę pisać czytelnie zadania w edytorze \( \LaTeX. \)
Jeśli narysujemy na jednym wykresie we współrzędnych prostokątnych fragmenty wykresów funkcji \( y = \cos(x), \ \ 0 < x <\frac{\pi}{2} \) i \( y = \frac{1}{2}, \) to zauważymy że spełniona jest nierówność
\( \frac{1}{2}< \cos\left(\frac{1}{n}\right). \)
Stąd
\( 0 < \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}< \frac{1}{n}\cos(\left(\frac{1}{n}\right) \) dla każdego \( n\in \nn \)
Ponadto szereg \( \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny rzędu pierwszego.
Na podstawie kryterium porównanwczego rozbieżności szeregów szereg dany jest rozbieżny.
Drugi sposób
Kryterium porównawcze z szeregiem
\( \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} sin\left(\frac{2}{n}\right) \)
i wykazanie rozbieżności tego szeregu.
Proszę pisać czytelnie zadania w edytorze \( \LaTeX. \)