Prawdopodobieństwo z parametrem

[TigerShoot]

W urnie są kule białe i czarne, ogółem jest ich 9. Losujemy 2 kule. Niech:

A − oznacza zdarzenie polegające na tym, że dwie kule są tego samego koloru
B − oznacza zdarzenie, że kule są różnych kolorów

Oblicz, ile jest kul czarnych w urnie, jeżeli P(A) = P(B)

[radagast]

W urnie są kule białe i czarne, ogółem jest ich 9. Losujemy 2 kule. Niech:

A − oznacza zdarzenie polegające na tym, że dwie kule są tego samego koloru
B − oznacza zdarzenie, że kule są różnych kolorów

Oblicz, ile jest kul czarnych w urnie, jeżeli P(A) = P(B)

\(b\)-liczba kul białych
\(9-b\) liczba kul czarnych

\(|A|= {b \choose 2}+ { 9-b\choose 2} \)
\(|B|=36- \left({b \choose 2}+ { 9-b\choose 2} \right)\)
no to mamy równanie :
\( {b \choose 2}+ { 9-b\choose 2} = 36- \left({b \choose 2}+ { 9-b\choose 2} \right)\)

Trzeba je rozwiązać i policzyć \(9-b\)

[TigerShoot]

Mam problem z wyliczeniem tego:

\( \frac {(9-b)!} {2!(7-b)!}\)

[Jerry]

\[ \frac {(9-b)!} {2!(7-b)!}=\frac {(9-b)\cdot(8-b)\cdot(7-b)!} {1\cdot2\cdot(7-b)!}=\frac {(9-b)(8-b)} {2}=\ldots\]
Pozdrawiam

[TigerShoot]

Dziękuje bardzo

[janusz55]

Losujemy kolejno bez zwracania dwie kule z urny zawierającej łącznie 9 kul białych i czarnych.

Oznaczenia:

\( b \) - "wylosowanie kuli białej".

\( c \) - "wylosowanie kuli czarnej".

Założenie:

W urnie znajduje się \( n \) kul białych i \( 9-n \) kul czarnych, \( \nn \in n< 9. \)

Pierwsze losowanie:

\(\Omega_{1} = \{ b, c \};\)

\( P(b) = \frac{n}{9}, \ \ P(c) = \frac{9-n}{9}.\)

Drugie losowanie:

\(\Omega_{2} = \{ b, c \};\)

\( P(b|b) = \frac{n-1}{8}, \ \ P(c|b) = \frac{9-n}{8}, \ \ P(b|c) = \frac{n}{8}, \ \ P(c|c) = \frac{8-n}{8}.\)

Losowanie łączne:

\( \Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2} = \{b,c\} \times \{b,c\} = \{ (b,b), (b,c), (c,b), (c,c)\}. \)

\( P(A) = P((b,b)) + P((c,c)) = P(b)\cdot P(b|b) + P(c)\cdot P(c|c) \)

\( P(A) = \frac{n}{9}\cdot \frac{n-1}{8} + \frac{9-n}{9}\cdot \frac{8-n}{8}. \)

\( P(B) = P((b,c)) + P((c,b)) = P(b)\cdot P(c|b) + P(c)\cdot P(b|c) \)

\( P(B) = \frac{n}{9}\cdot \frac{9-n}{8} + \frac{9-n}{9}\cdot \frac{n}{8}. \)

\( P(A) = P(B) \)

\( \frac{n}{9}\cdot \frac{n-1}{8} + \frac{9-n}{9}\cdot \frac{8-n}{8} = \frac{n}{9}\cdot \frac{9-n}{8} + \frac{9-n}{9}\cdot \frac{n}{8} \ \ | \cdot \frac{1}{9\cdot 8}\)

\( n(n-1) + (9-n)\cdot (8-n) = n\cdot (9-n)+ (9-n)\cdot n,\)

\( n^2 -n +72 -9n -8n +n^2 = 9n -n^2 +9n -n^2 \)

\( 4n^2 -36n +72 = 0 \ \ | \cdot \frac{1}{4} \)

\( n^2 - 9n + 18 = 0 \)

\( n_{1} = 3, \ \ n_{2} = 6. \)

\( n = n_{1} = 3 \vee n = n_{2} = 6\)

Odpowiedź:

W urnie jest \( 9 - n_{1} = 9 - 3 = 6 \) kul czarnych lub \( 9-n_{2} = 9-6 = 3\) kule czarne.