Równanie wielomianowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
Równanie wielomianowe
Wykaż, że jeżeli wielomian \( W (x) = x^{3} + ax + b \) ma pierwiastek dwukrotny, to \( 4a^{3} + 27b^{2} = 0 \)
Czy dałoby się udowodnić to stosując wzory Viete'a?
Czy dałoby się udowodnić to stosując wzory Viete'a?
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Równanie wielomianowe
Tak.
\( \begin{cases} 0=-2p-q \\
a=p^2+2pq \\
b=-p^2q\end{cases} \)
\(q=-2p \ \ \So \begin{cases}
a=p^2-4p^2 \\
b=2p^3\end{cases}\)
\(a^3=-27p^6=-27 \cdot \frac{b^2}{4}\)
Aczkolwiek szybciej byłoby z pochodnej.
\( \begin{cases} 0=-2p-q \\
a=p^2+2pq \\
b=-p^2q\end{cases} \)
\(q=-2p \ \ \So \begin{cases}
a=p^2-4p^2 \\
b=2p^3\end{cases}\)
\(a^3=-27p^6=-27 \cdot \frac{b^2}{4}\)
Aczkolwiek szybciej byłoby z pochodnej.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Równanie wielomianowe
Dokładnie tak jak napisał kerajs
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Równanie wielomianowe
\(a=p^2-4p^2=-3p^2\\
b=2p^3\\
4a^3+27b^2=4\cdot (-27p^6)+27\cdot 4p^6=0\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Równanie wielomianowe
Wzory Viete'a dla równania \(x^3+bx^2+cx+d=0:
\)
\(x_1+x_2+x_3=-b\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=c\\
x_1x_2x_3=-d\)
p - dwukrotny pierwiastek
q - jednokrotny pierwiastek
\(p+p+q=0\\
p\cdot p+p\cdot q+p\cdot q=a\\
p\cdot p\cdot q=-b\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Równanie wielomianowe
nasze równanie:
\(x^3+ax+b=0\\
x_1=p\\
x_2=p\\
x_3=q\\
\)
Suma rozwiązań jest równa liczbie przeciwnej do współczynnika stojącego przy \(x^2\) ( u nas tym współczynnikiem jest zero)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Równanie wielomianowe
\(c\) jest współczynnikiem przy \(x\) w pierwszej potędze, czyli u nas jest to \(a\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć: