Znajdź rozwiązanie szczególne w postaci szeregu potęgowego o środku w punkcie \(t_0 = 0 \) równania:
\(x'' + t^2x' - tx = t + 1\)
spełniające warunki \(x(0) = 1, x'(0) = 0\). Wyznacz pięć pierwszych niezerowych współczynników tego szeregu.
Rozwiązanie szczególne w postaci szeregu potęgowego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1635
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: Rozwiązanie szczególne w postaci szeregu potęgowego
\( x" +t^2x' -tx = t+1, \ \ x(0) = 1, \ \ x'(0) = 0, \ \ t_{0} = 0. \)
Ponieważ \( t_{0} = 0 \) - szukamy całki w postaci szeregu Taylora -Maclaurina:
\( x(t) = x(0) + x'(0) t + \frac{x"(0)}{2!} t^2 + \frac{x^{(3)}}{3!} t^3 + \frac{x^{(4)}}{4!} t^4 + \ \ ... \)
\( x(0) = 1\)
\( x'(0) = 0,\)
\( x"(t) = t+1 -t^2x' +tx \)
\( x"(0) = 0 +1 -0 +0\cdot 1 = 1,\)
\( x^{(3)}(t) = 1 -2tx' -t^2x"+x +tx',\)
\( x^{(3)}(0)= 1 -2\cdot 0 - 0 +1 +0 = 2,\)
\( x^{(4)}(t) = -2x' -2tx" -2tx"- t^2x^{(3)} + x' +tx" \)
-
\( x^{(4)}(0) = 0 -2\cdot 0 -2\cdot 0 - 0\cdot 2+1 + 0\cdot 1 = 1.\)
\( x(t) = 1 + 0 +\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{24}t^4 + \ \ ... \)
Ponieważ \( t_{0} = 0 \) - szukamy całki w postaci szeregu Taylora -Maclaurina:
\( x(t) = x(0) + x'(0) t + \frac{x"(0)}{2!} t^2 + \frac{x^{(3)}}{3!} t^3 + \frac{x^{(4)}}{4!} t^4 + \ \ ... \)
\( x(0) = 1\)
\( x'(0) = 0,\)
\( x"(t) = t+1 -t^2x' +tx \)
\( x"(0) = 0 +1 -0 +0\cdot 1 = 1,\)
\( x^{(3)}(t) = 1 -2tx' -t^2x"+x +tx',\)
\( x^{(3)}(0)= 1 -2\cdot 0 - 0 +1 +0 = 2,\)
\( x^{(4)}(t) = -2x' -2tx" -2tx"- t^2x^{(3)} + x' +tx" \)
-
\( x^{(4)}(0) = 0 -2\cdot 0 -2\cdot 0 - 0\cdot 2+1 + 0\cdot 1 = 1.\)
\( x(t) = 1 + 0 +\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{24}t^4 + \ \ ... \)