Hej, potrzebuję pomocy z rozwiązaniem takiego zadania:
Korzystając z sumy całkowej (defnicji całki Riemanna) i twierdzeń dotyczących funkcji całkowalnych
oblicz:
\(\int_{0}^{ \pi /2} cos(x) dx\)
Całka oznaczona
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
hejkanaklejka
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 15 maja 2023, 23:51
- Płeć:
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1651
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Całka oznaczona
\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) dx: \)
Funkcja kosinus jest ciągła, a zatem całkowalna na dowolnym przedziale \( [a, b].\)
Każdy poprawnie wybrany podział tego przedziału doprowadzi w granicy do identycznej wartości całki.
Przy wyborze podziału odcinka \( \left[0, \frac{\pi}{2} \right] \) pomocny jest wzór, który można udowodnić metodą indukcji matematycznej bądź korzystając z postaci biegunowej liczb zespolonych:
\( \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \ \ ... \ \ +\cos(n\alpha) = \frac{\sin\left(n\cdot\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha(n+1)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \ \ (1) \)
Dysponując tym wzorem możemy podzielić przedział \( \left[0, \frac{\pi}{2} \right] \) na równe podprzedziały punktami \( x_{i} =\frac{\pi\cdot i}{2N}.\)
Tworzymy sumę Riemanna:
\( S_{N} = \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - x_{i-1})\cos(x_{i}) = \sum_{i=1}^{N} \left(\frac{\pi\cdot i}{2N} - \frac{\pi\cdot (i-1)}{2N}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi\cdot i}{2N}\right) = \frac{\pi}{2N}\sum_{i=1}^{N} \cos\left(\frac{\pi \cdot i}{2N}\right).\)
Z wykładu analizy wiemy, że można było do obliczenia sumy wybrać dowolne wartości funkcji (wybraliśmy \( f(x_{i}), \ \ i=1,2,...,N\)). Dzięki temu uzyskaliśmy postać, jaka jest nam potrzebna z równości \( (1).\)
Wykorzystując równość \( (1) \) dla \( \alpha = \frac{\pi}{2N}, \) otrzymujemy:
\( S_{N} = \frac{\pi}{2N} \frac{\sin\left(N \frac{\pi}{4N}\right) \cos\left(\frac{\pi (N+1)}{4N}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4N}\right)} = \frac{\pi}{2N} \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4N}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4N}\right)} =\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4N}\right)}{\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4N}\right)\cdot \frac{\pi}{4N}\cdot \frac{2N}{\pi}}{\frac{\pi}{4N}}} \rightarrow \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{1\cdot\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{4}}{\frac{1}{2}} = 1 \) gdy \( n\rightarrow \infty.\)
Funkcja kosinus jest ciągła, a zatem całkowalna na dowolnym przedziale \( [a, b].\)
Każdy poprawnie wybrany podział tego przedziału doprowadzi w granicy do identycznej wartości całki.
Przy wyborze podziału odcinka \( \left[0, \frac{\pi}{2} \right] \) pomocny jest wzór, który można udowodnić metodą indukcji matematycznej bądź korzystając z postaci biegunowej liczb zespolonych:
\( \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \ \ ... \ \ +\cos(n\alpha) = \frac{\sin\left(n\cdot\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha(n+1)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \ \ (1) \)
Dysponując tym wzorem możemy podzielić przedział \( \left[0, \frac{\pi}{2} \right] \) na równe podprzedziały punktami \( x_{i} =\frac{\pi\cdot i}{2N}.\)
Tworzymy sumę Riemanna:
\( S_{N} = \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - x_{i-1})\cos(x_{i}) = \sum_{i=1}^{N} \left(\frac{\pi\cdot i}{2N} - \frac{\pi\cdot (i-1)}{2N}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi\cdot i}{2N}\right) = \frac{\pi}{2N}\sum_{i=1}^{N} \cos\left(\frac{\pi \cdot i}{2N}\right).\)
Z wykładu analizy wiemy, że można było do obliczenia sumy wybrać dowolne wartości funkcji (wybraliśmy \( f(x_{i}), \ \ i=1,2,...,N\)). Dzięki temu uzyskaliśmy postać, jaka jest nam potrzebna z równości \( (1).\)
Wykorzystując równość \( (1) \) dla \( \alpha = \frac{\pi}{2N}, \) otrzymujemy:
\( S_{N} = \frac{\pi}{2N} \frac{\sin\left(N \frac{\pi}{4N}\right) \cos\left(\frac{\pi (N+1)}{4N}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4N}\right)} = \frac{\pi}{2N} \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4N}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4N}\right)} =\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4N}\right)}{\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4N}\right)\cdot \frac{\pi}{4N}\cdot \frac{2N}{\pi}}{\frac{\pi}{4N}}} \rightarrow \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{1\cdot\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{4}}{\frac{1}{2}} = 1 \) gdy \( n\rightarrow \infty.\)