1. Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(\sqrt{8}\) , a krawędź podstawy ma długość \(2\). Oblicz:
a) cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
b) sinus kąta między przekątną jednej ściany bocznej a krawędzią podstawy zawartą w sąsiedniej ścianie bocznej, wychodzącymi z tego samego wierzchołka
c) miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej
2. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Wysokość tego graniastosłupa jest równa \(12\) cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha = 45^\circ\), a krótsza pod kątem \(\beta = 60 ^\circ\). Oblicz długość krawędzi podstawy.
3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa \(20\) cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę \(60 ^\circ\). Oblicz:
a) długość krawędzi bocznej
b) wysokość ostrosłupa
c) wysokość ściany bocznej
4.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa \(4 \sqrt{2}\) cm,
a krawędzi bocznej - \(5\) cm. Oblicz:
a) wysokość tego ostrosłupa
b) wysokość ściany bocznej poprowadzoną na krawędź podstawy
c) odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi bocznej
zadania z graniastosłupa i ostrosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: zadania z graniastosłupa i ostrosłupa
\(\cos\alpha=\frac{2}{d}\\\)
d - przekątna ściany bocznej
\(d^2=a^2+h^2\\
d^2=4+8\\
d^2=12\\
d=2\sqrt{3}\\
\cos\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: zadania z graniastosłupa i ostrosłupa
\(ABC, DEF\) - podstawy graniastosłupakotrimek pisze: ↑13 kwie 2023, 19:55 1. Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \sqrt{8} , a krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz:
b) sinus kąta między przekątną jednej ściany bocznej a krawędzią podstawy zawartą w sąsiedniej ścianie bocznej, wychodzącymi z tego samego wierzchołka
trójkąt \(AFB\) jest równoramienny, szukany kąt to kąt \(ABF\)
\(\sin\beta=\frac{|FS|}{|FB|}\), gdzie \(S\) jest środkiem \(AB\)
\(|FS|^2+(0,5|AB|)^2=|BF|^2\\
|FS|^2+1=(2\sqrt{3})^2\\
|FS|^2=11\\
|FS|=\sqrt{11}\\
\sin\beta=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{33}}{6}
\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: zadania z graniastosłupa i ostrosłupa
\(O\) - środek krawędzi \(DE\)
trójkąt \(FOB\) jest prostokątny
szukany kąt to kąt \(OBF\)
\(\sin\gamma=\frac{|FO|}{|BF|}\\
|FO|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\\
\sin\gamma = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\\
\gamma=30^{\circ}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: zadania z graniastosłupa i ostrosłupa
ABCD, EFGH - podstawykotrimek pisze: ↑13 kwie 2023, 19:55
2. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Wysokość tego graniastosłupa jest równa \(12\) cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha = 45^\circ\), a krótsza pod kątem \(\beta = 60 ^\circ\). Oblicz długość krawędzi podstawy.
\(|\angle GAC|=45^{\circ}\\
\tg 45^{\circ}=\frac{|GC|}{|AC|}\\
1=\frac{12}{|AC|}\\
|AC|=12\)
\(\tg 60^{\circ}=\frac{|DH|}{|BD|}\\
\sqrt{3}=\frac{12}{|DB|}\\
\sqrt{3}|BD|=12\\
|DB|=4\sqrt{3}\)
\((0,5|BD|)^2+(0,5|AC|)^2=a^2\\
(2\sqrt{3})^2+6^2=a^2\\
48=a^2\\
a=4\sqrt{3}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: zadania z graniastosłupa i ostrosłupa
a)
O - spodek wysokości
\(|OC|=\frac{1}{2}|AC|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 20\sqrt{2}=10\sqrt{2}\\
\cos 60^{\circ}=\frac{|C0|}{|SC|}\\
\frac{1}{2}=\frac{10\sqrt{2}}{|SC|}\\
|SC|=20\sqrt{2}\)
b)
\(H^2+|OC|^2=|SC|^2\\
H^2+200=800\\
H^2=600\\
H=10\sqrt{6}\)
c)
\(h^2+(0,5a)^2=|SC|^2\\
h^2+10^2=(20\sqrt{2})^2\\
h^2=800-100\\
h^2=700\\
h=10\sqrt{7}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: zadania z graniastosłupa i ostrosłupa
a)kotrimek pisze: ↑13 kwie 2023, 19:55
4.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa \(4 \sqrt{2}\) cm,
a krawędzi bocznej - \(5\) cm. Oblicz:
a) wysokość tego ostrosłupa
b) wysokość ściany bocznej poprowadzoną na krawędź podstawy
c) odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi bocznej
\(H^2+(0,5|AC|)^2=|SC|^2\\
|AC|=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8\\
H^2+4^2=5^2\\
H=3\)
b)
\(h^2+(0,5a)^2=|SC|^2\\
h^2+(2\sqrt{2})^2=5^2\\
h^2=25-8\\
h=\sqrt{17}\)
c)
trójkąt SOC jest prostokątny, szukana długość do wysokość trójkąta poprowadzona na przeciwprostokątną
\(x=\frac{|SO|\cdot |OC|}{|SC|}\\
x=\frac{3\cdot 4}{5}\\
x=\frac{12}{5}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę