Cześć, mam takie zadanie i będę wdzięczna za pomoc.
W pudełku znajduje się sześć zwykłych kostek i jedna specjalna kostka (ta ma szóstki po dwóch stronach i jedynki
na pozostałych czterech stronach). Losowo dobieramy kostkę, a następnie rzucamy nią 10 razy.
a) Jaka jest szansa, że każda uzyskana liczba będzie jedynką lub szóstką?
b) Jaka jest szansa, że wybraliśmy specjalną kostkę, biorąc pod uwagę, że każda uzyskana liczba to 1 lub 6?
Prawdopodobieństwo - rzucenie kostką
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anilewe_MM
- Czasem tu bywam
- Posty: 141
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 594 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3544
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1949 razy
Re: Prawdopodobieństwo - rzucenie kostką
Na przykładzie:
Prawdopodobieństwo jedynki w rzucie kością jest równe \({1\over6}\), szansa na jedynkę w rzucie kością to \(1\colon5\)
Pozdrawiam
Prawdopodobieństwo jedynki w rzucie kością jest równe \({1\over6}\), szansa na jedynkę w rzucie kością to \(1\colon5\)
Pozdrawiam
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1635
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: Prawdopodobieństwo - rzucenie kostką
Doświadczenie losowe składa się z jedenastu etapów:
Etap 1 - losowy wybór kostki sześciennej z pudełka.
Etap 2 - pierwszy rzut wylosowaną w etapie pierwszym kostką.
Etap 3 - drugi rzut wylosowaną w etapie pierwszym kostką.
........................................................................
Etap 11 - dziesiąty rzut wylosowaną w etapie pierwszym kostką.
Oznaczenie zdarzeń:
\( Z \) - "wylosowanie kostki zwykłej" \( z "\)
\( S \)- "wylosowanie kostki specjalnej \( s"\)
\(\{ A | z \} \) - "uzyskana liczba oczek jest jedynką lub szóstką pod warunkiem, że rzucamy kostką zwykłą,"
\( \{A|s \} \) - " uzyskana liczba oczek jest jedynką lub szóstką pod warunkiem, że rzucamy kostką specjalną.
Zakładamy, że każdy wybór kostki jest jednakowo możliwy i wyniki każdego rzutu wylosowaną kostką są jednakowo prawdopodobne.
Etap 1
\( \Omega_{1} = \{ z_{1}, z_{2},z_{3},z_{4},z_{6}, s \}.\)
\( P(Z) = \frac{6}{7}, \ \ P(S) = \frac{1}{7}.\)
Etapy 1-10
Z rzutami wylosowaną kostką od etapu pierwszego do dziesiątego - wiążą się dwa modele doświadczeń losowych:
- model rzutów kostką zwykłą:
\( \Omega^{'}_{1-10} = \{\omega =( \omega_{1}, \omega_{2}, \ \ ... \ \ \omega_{9}, \omega_{10}): \omega_{i} \in \{1,2,3,4,5,6\} \ \ dla \ \ i =1,2, ..., 9,10 \} \)
\( |\Omega^{'}_{1-10}| = 6^{10}, \ \ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega^{'}_{1-10}|} = \frac{1}{6^{10}}. \)
Prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \) jest sumą dwóch niezależnych zdarzeń:
\( \{A|Z\} = \{A_{1}|Z\} \cup \{A_{6}|Z\} \)
\( A_{1} \) -"każda liczba będzie jedynką",
\( A_{6} \) -" każda liczba będzie szóstką".
\( P(A|Z) = P( \{A_{1} |Z\} \cup \{ A_{6}|Z\}) = P(\{A_{1}|Z) + P(\{A_{6}|Z\}) = {10\choose 10}\left(\frac{1}{6}\right)^{10}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{0} + {10\choose 10}\left(\frac{1}{6}\right)^10\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{0} = 2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{10} \)
- model rzutów kostką specjalną:
\( \Omega^{"}_{1-10} = \{\omega =(\omega_{1}, \omega_{2}, \ \ ... \ \ \omega_{9}, \omega_{10}): \omega_{i} \in \{i,j,k,l,m,n\} \ \ \wedge i,j,k,l \in\{1\} \wedge m,n \in \{6\} \ \ dla \ \ i =1,2, ..., 9, 10 \} \)
\( |\Omega^{"}_{2}| = 6^{10}, \ \ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega^{"'}_{2}|} = \frac{1}{6^{10}}.\)
\( P(A|S)= P(\{A_{1}|S\}\cup \{A_{6}|S\}) = P(\{A_{1}|S\}) + P(\{A_{6}|S) = {10\choose 10} \left(\frac{4}{6}\right)^{10}\cdot \left(\frac{2}{6}\right)^{0} + {10\choose 10} \left(\frac{2}{6}\right)^{10}\cdot \left(\frac{4}{6}\right)^{0}= {10\choose 10} \left(\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{0} + {10\choose 10} \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{0} = \left(\frac{2}{3}\right)^{10}+ \left(\frac{1}{3}\right)^{10} . \)
(a)
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (zupełnym):
\( P(A) = P(Z)\cdot P(A|Z) + P(S)\cdot P(A|S): \)
\( P(A) = \frac{6}{7}\cdot 2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{10} + \frac{1}{7}\cdot \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{10}+ \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \right) \approx 0,0025\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji doświadczenia losowego, polegającego na losowaniu kostki sześciennej i wykonywaniu dziesięciu nią rzutów, należy oczekiwać , że szansa na to, aby każda uzyskana liczba była jedynką lub szóstką wynosi około \( 0,25\%.\)
b)
Ze wzoru Thomasa Bayesa na prawdopodobieństwo "apriori-aposteriori":
\( P(S | A) =\frac{P(A \cap S)}{P(A)} = \frac{P(S)\cdot P(A|S)}{P(Z)\cdot P(A|Z) + P(S)\cdot P(A|S)} \)
\( P(S|A) =\frac{\frac{1}{7}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{10}+ \left(\frac{1}{3}\right)^{10} \right)}{0,0025} \approx 0,9920.
\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
Jeżeli każdą z uzyskanych liczb jest jedynka lub szóstka, to szansa, że wybraliśmy kostkę specjalną wynosi około \(99,2\%.\)
Etap 1 - losowy wybór kostki sześciennej z pudełka.
Etap 2 - pierwszy rzut wylosowaną w etapie pierwszym kostką.
Etap 3 - drugi rzut wylosowaną w etapie pierwszym kostką.
........................................................................
Etap 11 - dziesiąty rzut wylosowaną w etapie pierwszym kostką.
Oznaczenie zdarzeń:
\( Z \) - "wylosowanie kostki zwykłej" \( z "\)
\( S \)- "wylosowanie kostki specjalnej \( s"\)
\(\{ A | z \} \) - "uzyskana liczba oczek jest jedynką lub szóstką pod warunkiem, że rzucamy kostką zwykłą,"
\( \{A|s \} \) - " uzyskana liczba oczek jest jedynką lub szóstką pod warunkiem, że rzucamy kostką specjalną.
Zakładamy, że każdy wybór kostki jest jednakowo możliwy i wyniki każdego rzutu wylosowaną kostką są jednakowo prawdopodobne.
Etap 1
\( \Omega_{1} = \{ z_{1}, z_{2},z_{3},z_{4},z_{6}, s \}.\)
\( P(Z) = \frac{6}{7}, \ \ P(S) = \frac{1}{7}.\)
Etapy 1-10
Z rzutami wylosowaną kostką od etapu pierwszego do dziesiątego - wiążą się dwa modele doświadczeń losowych:
- model rzutów kostką zwykłą:
\( \Omega^{'}_{1-10} = \{\omega =( \omega_{1}, \omega_{2}, \ \ ... \ \ \omega_{9}, \omega_{10}): \omega_{i} \in \{1,2,3,4,5,6\} \ \ dla \ \ i =1,2, ..., 9,10 \} \)
\( |\Omega^{'}_{1-10}| = 6^{10}, \ \ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega^{'}_{1-10}|} = \frac{1}{6^{10}}. \)
Prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \) jest sumą dwóch niezależnych zdarzeń:
\( \{A|Z\} = \{A_{1}|Z\} \cup \{A_{6}|Z\} \)
\( A_{1} \) -"każda liczba będzie jedynką",
\( A_{6} \) -" każda liczba będzie szóstką".
\( P(A|Z) = P( \{A_{1} |Z\} \cup \{ A_{6}|Z\}) = P(\{A_{1}|Z) + P(\{A_{6}|Z\}) = {10\choose 10}\left(\frac{1}{6}\right)^{10}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{0} + {10\choose 10}\left(\frac{1}{6}\right)^10\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{0} = 2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{10} \)
- model rzutów kostką specjalną:
\( \Omega^{"}_{1-10} = \{\omega =(\omega_{1}, \omega_{2}, \ \ ... \ \ \omega_{9}, \omega_{10}): \omega_{i} \in \{i,j,k,l,m,n\} \ \ \wedge i,j,k,l \in\{1\} \wedge m,n \in \{6\} \ \ dla \ \ i =1,2, ..., 9, 10 \} \)
\( |\Omega^{"}_{2}| = 6^{10}, \ \ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega^{"'}_{2}|} = \frac{1}{6^{10}}.\)
\( P(A|S)= P(\{A_{1}|S\}\cup \{A_{6}|S\}) = P(\{A_{1}|S\}) + P(\{A_{6}|S) = {10\choose 10} \left(\frac{4}{6}\right)^{10}\cdot \left(\frac{2}{6}\right)^{0} + {10\choose 10} \left(\frac{2}{6}\right)^{10}\cdot \left(\frac{4}{6}\right)^{0}= {10\choose 10} \left(\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{0} + {10\choose 10} \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{0} = \left(\frac{2}{3}\right)^{10}+ \left(\frac{1}{3}\right)^{10} . \)
(a)
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (zupełnym):
\( P(A) = P(Z)\cdot P(A|Z) + P(S)\cdot P(A|S): \)
\( P(A) = \frac{6}{7}\cdot 2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{10} + \frac{1}{7}\cdot \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{10}+ \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \right) \approx 0,0025\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji doświadczenia losowego, polegającego na losowaniu kostki sześciennej i wykonywaniu dziesięciu nią rzutów, należy oczekiwać , że szansa na to, aby każda uzyskana liczba była jedynką lub szóstką wynosi około \( 0,25\%.\)
b)
Ze wzoru Thomasa Bayesa na prawdopodobieństwo "apriori-aposteriori":
\( P(S | A) =\frac{P(A \cap S)}{P(A)} = \frac{P(S)\cdot P(A|S)}{P(Z)\cdot P(A|Z) + P(S)\cdot P(A|S)} \)
\( P(S|A) =\frac{\frac{1}{7}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{10}+ \left(\frac{1}{3}\right)^{10} \right)}{0,0025} \approx 0,9920.
\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
Jeżeli każdą z uzyskanych liczb jest jedynka lub szóstka, to szansa, że wybraliśmy kostkę specjalną wynosi około \(99,2\%.\)