Zadania z trygonometrii

[Taotao2]

1. Czy poniższa równość jest tożsamością trygonometryczną?
1) \(\sin x \tg x (x+ \frac{\pi}{2} )+2\cos x = \sin x\)

2. Wykaż tożsamość
1) \(\sin x \cos x +\tg x = \tg x(\cos^2 x +1)\)
2) \(\tg(\alpha-\beta= \frac{\tg \alpha -\tg \beta}{1+\tg \alpha\tg \beta} \)

3. Podaj wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych dla kąta \(\alpha,\) jeśli:
1) \(\ctg \alpha =-2, \ 90^ \circ <\alpha<180^\circ\)

4. Podaj kąt nachylenia prostej do osi \(OX\).
1) \(y=\sqrt{3}x +y+3=0\)
2) \(y=\sqrt{3x}-1\)

5. Oblicz
1) \( \frac{\sin 4710^\circ -\cos 3750^\circ}{\tg 14445^\circ} \)

6. Wyprowadź wzory na \(\ctg(\alpha +\beta) \) i \(\ctg(\alpha-\beta)\)

7. Uprość
\(\cos( \frac{3\pi}{2}-x)cos(\pi-x)-\sin(\pi+x)\sin( \frac{3\pi}{2}+x) \)

[janusz55]

Coś z własnej inicjatywy ?

[eresh]

1. Czy poniższa równość jest tożsamością trygonometryczną?
1) \(\sin x \tg (x+ \frac{\pi}{2} )+2\cos x = \sin x\)

\(\sin x\tg(x+\frac{\pi}{2})+2\cos x=\sin x\cdot\frac{-\cos x}{\sin x}+2\cos x=\cos x\)
wygląda na to, że nie jest

[eresh]

2. Wykaż tożsamość
1) \(\sin x \cos x +\tg x = \tg x(\cos^2 x +1)\)

\(\sin x\cos x+\tg x=\sin x\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x\cos^2x+\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x(\cos^2x+1)}{\cos x}=\tg x(\cos^2x+1)\)

[eresh]

2. Wykaż tożsamość

2) \(\tg(\alpha-\beta= \frac{\tg \alpha -\tg \beta}{1+\tg \alpha\tg \beta} \)

\(\frac{\tg \alpha -\tg \beta}{1+\tg \alpha\tg \beta}=\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha}-\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1+\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}=\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}=\frac{\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\tg(\alpha-\beta)\)

[eresh]

3. Podaj wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych dla kąta \(\alpha,\) jeśli:
1) \(\ctg \alpha =-2, \ 90^ \circ <\alpha<180^\circ\)

\(\ctg\alpha=-2\\
\tg\alpha=-\frac{1}{2}\\
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{1}{2}\\
\sin\alpha=-\frac{1}{2}\cos\alpha\\
(-\frac{1}{2}\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1\\
\frac{5}{4}\cos^2\alpha=1\\
\cos^2\alpha=\frac{4}{5}\\
\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\\
\sin\alpha=-\frac{1}{2}\cdot\frac{-2\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

[eresh]

4. Podaj kąt nachylenia prostej do osi \(OX\).
1) \(y=\sqrt{3}x +y+3=0\)
2) \(y=\sqrt{3x}-1\)

zakładam, że proste mają równania:
\(\sqrt{3}x+y+3=0\\
y=\sqrt{3}x-1\)

a)
\(y=-\sqrt{3}x-3\\
a=\tg\alpha\\
\tg\alpha=-\sqrt{3}\\
\alpha=120^{\circ}\)

b)
\(a=\sqrt{3}\\
\tg\alpha=\sqrt{3}\\
\alpha=60^{\circ}\)

[eresh]

5. Oblicz
1) \( \frac{\sin 4710^\circ -\cos 3750^\circ}{\tg 14445^\circ} \)

\(\frac{\sin 4710^\circ -\cos 3750^\circ}{\tg 14445^\circ}=\frac{\sin(360^{\circ}\cdot 13+30^{\circ})-\cos (360^{\circ}\cdot 10+150^{\circ})}{\tg (80\cdot 180^{\circ}+45^{\circ})}=\frac{\sin 30^{\circ}-\cos 150^{\circ}}{\tg 45^{\circ}}=\frac{1}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)

[eresh]

7. Uprość
\(\cos( \frac{3\pi}{2}-x)cos(\pi-x)-\sin(\pi+x)\sin( \frac{3\pi}{2}+x) \)

\(\cos( \frac{3\pi}{2}-x)\cos(\pi-x)-\sin(\pi+x)\sin( \frac{3\pi}{2}+x)=-\sin x\cdot (-\cos x)+\sin x\cdot (-\cos x)=0\)

[eresh]

6. Wyprowadź wzory na \(\ctg(\alpha +\beta) \)

\(\ctg(\alpha+\beta)=\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}=\frac{\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}}{\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}}=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\beta+\ctg\alpha}\)


\(\ctg(\alpha-\beta)=\frac{\cos(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}=\frac{\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}}{\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}}=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta+1}{\ctg\beta-\ctg\alpha}\)