Trudna całka

[Taotao2]

Oblicz:
\( \int_{0}^{2} x \sqrt{{x}^{ \ln x} \sqrt[3]{x^ {\ln^2x} } \sqrt[4]{x}^{ \ln^3x } \sqrt[5]{...} }dx \)

[nijak]

\( \int_{0}^{2} x \cdot x^{ \frac{{\ln x}}{2} }\cdot x^{ \frac{{\ln ^2x}}{3\cdot2} } \cdot x^{ \frac{{\ln^3 x}}{4\cdot3\cdot2} }...dx \)
\( \int_{0}^{2}x^{ \sum_{n=1}^{ \infty } } \frac{ {(\ln x)}^{n-1}}{n!}dx \)
wiedząc,że: \( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}=e^x \)
\(1+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}=e^x \)
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}=e^x-1\)
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{( \ln x)^n}{n!} = e^{ \ln x}-1=x-1\)
wracając do naszej całki możemy ją zapisać w ten sposób:
\( \int_{0}^{2} x^{ \frac{1}{ \ln x}\cdot \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{( \ln x)^n}{n!} }dx\)
co jest równe z naszych wnioskowań:
\( \int_{0}^{2}x^{{ \frac{1}{ \ln x} }\cdot(x-1)} dx\) = \( \int_{0}^{2} (e^{ \ln x})^{ \frac{x-1}{ \ln x} }dx\)=
= \(\int_{0}^{2}e^{x-1}dx\) = \(e^{x-1}]^2_0=e- \frac{1}{e} \)
Ciekawy wynik.
Pozdrawiam