zbieżność szeregu

[Filip25]

Zbadać zbieżność szeregu:
\( \sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{\arctg n^2}{\ln^3 n} \)

[Jerry]

Po uciągleniu do funkcji \(y=f(x)=\frac{\arctg x^2}{\ln^3 x}\) i policzeniu (z reguły del'Hospitala) \(\Lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) mogę tylko napisać, że warunek konieczny jest spełniony

Pozdrawiam

[Tulio]

[tu jednak było źle]
Drugie podejście:
\(\arctg {n^2}\) jest ograniczony przez \(\frac{\pi}{2}\) od góry i przez \(1\) od dołu (dla \(n \ge 2\)), zatem:
\( \sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{\arctg n^2}{\ln^3 n} > \sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{\ln^3 n}\)
Jako, że ten drugi szereg jest rozbieżny to większy tym bardziej jest.
Udowodnijmy, że ten drugi szereg jest rozbieżny. Z Kryterium Raabego:
\( \Lim_{n\to \infty} n\cdot \left( \frac{1}{\ln^3 n} \cdot \ln^3{ \left( n+1\right) - 1 } \right) = \Lim_{n\to \infty} n\cdot \left( \frac{\ln^3 \left( n+1\right) }{\ln^3 n} - 1 \right) =\\\quad= \Lim_{n\to \infty} n\cdot \left( \frac{\ln^3 \left( n+1\right) - \ln^3 n}{\ln^3 n} \right) = \Lim_{n\to \infty} n\cdot \left( \frac{\ln^3 \left( \frac{n+1}{n}\right)}{\ln^3 n} \right)\)
Co zapisujemy:
\( \Lim_{n\to \infty} \left( \frac{ \sqrt[3]{n} \cdot \ln \frac{n+1}{n}}{\ln n} \right)^3\)
więc musimy policzyć "tylko" część w nawiasie:
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{ \sqrt[3]{n} \cdot \ln \frac{n+1}{n}}{\ln n} = \Lim_{n\to \infty} \frac{ \ln \left( \frac{n+1}{n}\right)^\sqrt[3]{n} }{\ln n}\)
Zajmijmy się licznikiem (a dokładnie częścią podlogarytmową, mianownik do nieskończoności). Mamy:
\(\Lim_{n\to \infty} \left( \frac{n+1}{n}\right)^\sqrt[3]{n} = \Lim_{n\to \infty} \left[ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \right]^\frac{ \sqrt[3]{n} }{n} = e^0 = 1\)
Zatem \(\Lim_{n\to \infty} \frac{ \ln \left( \frac{n+1}{n}\right)^\sqrt[3]{n} }{\ln n} = 0\)
Stąd z kryterium Raabego - szereg rozbieżny.