Nieskończony ciąg geometryczny.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Nieskończony ciąg geometryczny.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), którego iloraz q jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek IqI<1. Stosunek sumy \(S_n\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy \(S_p\) wszystkich wyrazów parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. \( \frac{S_n}{S_p}=S_n-S_p\). Oblicz q.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Nieskończony ciąg geometryczny.
Wstawiając:
\(S_n= \frac{a_1}{1-q^2}= \frac{q}{1-q^2} \\
S_p= \frac{a_1q}{1-q^2}= \frac{q^2}{1-q^2}\)
do równania mam:
\( \frac{1}{q}=\frac{q}{1-q^2}-\frac{q^2}{1-q^2} \\
\frac{1}{q}=\frac{q}{1+q} \\
q^2-q-1=0\\
q_1= \frac{1- \sqrt{5} }{2} \ \ \vee \ \ q_2= \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \)
jednak tylko pierwsze rozwiązanie spełnia warunek \(|q|<1\)
\(S_n= \frac{a_1}{1-q^2}= \frac{q}{1-q^2} \\
S_p= \frac{a_1q}{1-q^2}= \frac{q^2}{1-q^2}\)
do równania mam:
\( \frac{1}{q}=\frac{q}{1-q^2}-\frac{q^2}{1-q^2} \\
\frac{1}{q}=\frac{q}{1+q} \\
q^2-q-1=0\\
q_1= \frac{1- \sqrt{5} }{2} \ \ \vee \ \ q_2= \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \)
jednak tylko pierwsze rozwiązanie spełnia warunek \(|q|<1\)