Granica funkcji dwóch zmiennych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3544
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1949 razy
Re: Granica funkcji dwóch zmiennych
\( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{ \sin (x^3+y^3)}{x^2+y^2} =\Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{ \sin (x^3+y^3)}{x^3+y^3} \cdot\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=1\cdot0=0\)
bo
\(\Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}x=0\)
Pozdrawiam
bo
\(\Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}x=0\)
Pozdrawiam
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17552
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Re: Granica funkcji dwóch zmiennych
\( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=\Lim_{x\to0} x=0 \)
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Granica funkcji dwóch zmiennych
Chodzi mi bardziej o to jak mam ten zapis rozumieć.radagast pisze: ↑12 cze 2022, 21:57\( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=\Lim_{x\to0} x=0 \)
Najpierw liczę granicę po y a x traktuję jako stała?
Idąc tym tokiem rozumowania granica:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} \)
powinna zostać rozpisana jako:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{x\to0} \frac{x^2}{x^4} = \infty \)
czy jako:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{y\to0}\Lim_{x\to0} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{y\to0} \frac{y^8}{y^4} = 0 \)
Który z tych wyników jest poprawny?
- Jerry
- Expert
- Posty: 3544
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1949 razy
Re: Granica funkcji dwóch zmiennych
Tak, poszedłem po linii najmniejszego formalizmu... Wartości granicznej nie negujesz?Icanseepeace pisze: ↑13 cze 2022, 09:00 Chodzi mi bardziej o to jak mam ten zapis rozumieć.
Najpierw liczę granicę po y a x traktuję jako stała?
Nie, tym razem napisałbym np.:Icanseepeace pisze: ↑13 cze 2022, 09:00 Idąc tym tokiem rozumowania granica:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} \)
powinna zostać rozpisana ...
Niech \(\begin{cases}x=at\\y=bt\end{cases}\wedge a^2+b^2>0\). Wtedy
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4}=\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2t^2 + b^8t^8}{a^4t^4 + b^4t^4}=
\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2 + b^8t^6}{t^2(a^4 + b^4)}=\begin{cases}0&\text{dla}& a=0\\ +\infty&\text{dla}&a\ne0\end{cases}\)
Czyli granica nie istnieje!
Wg mnie w granicy z wątku nie było to konieczne, chociaż zgodzę się z Tobą, że mogłem przynajmniej napisać również granicę po \(y\) z granicy po \(x\) ...
Pozdrawiam
[edited] poprawa redakcji postu
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Granica funkcji dwóch zmiennych
Czyli tutaj nie możemy użyć twojego podejścia. Jesteś wstanie podać jakieś ograniczenia na funkcję tak aby jednak twoje przekształcenia dawały poprawny wynik? Pytam bo pierwszy raz spotykam się z takim sposobem podchodzenia do granicy dwóch zmiennych.Jerry pisze: ↑13 cze 2022, 12:54 Nie, tym razem napisałbym np.:
Niech \(\begin{cases}x=at\\y=bt\end{cases}\wedge a^2+b^2>0\). Wtedy
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4}=\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2t^2 + b^8t^8}{a^4t^4 + b^4t^4}=
\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2 + b^8t^6}{t^2(a^4 + b^4)}=\begin{cases}0&\text{dla}& a=0\\ +\infty&\text{dla}&a\ne0\end{cases}\)
Czyli granica nie istnieje!
Niestety to za mało. Nawet jeżeli \( \Lim_{x\to0} \Lim_{y \to 0} f(x,y) \) oraz \( \Lim_{y\to0} \Lim_{x \to0} f(x,y) \) istnieją i są sobie równe \( g \) to nie musi oznaczać, że \( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = g \). Kontrprzykład można bardzo łatwo znaleźć.
Reasumując: Fajny sposób, ale jak dla mnie trochę ryzykowny(wydaje mi się, że musimy coś więcej wiedzieć o funkcji przed rozpoczęciem badania granicy). W szczególności, że mamy bardzo fajną i prostą w uzasadnieniu nierówność:
\( \left|\frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} \right| \leq |x| + |y| \).
która również rozwiązuje problem.