Zależność długości fal elektronu i protonu

[mopac]

Jaką zależność spełnia długości fal materii elektronu i protonu o takiej samej energii kinetycznej?

[ThePPK]

Energię kinetyczną cząsteczki (tak jak i każdego innego obiektu posiadającego masę) opisuje się wzorem \(E_k = \frac{1}{2} m v^2\).
Długość fali materii opisuje się wzorem Louisa de Broglie'a \(\lambda = \frac{h}{m v}\).
Współcześnie oszacowana masa elektronu wynosi \(m_e = 9.11 * 10^{-31}kg\), natomiast protonu \(m_p = 1.673 * 10^{-27}kg\).
Wartość \(h\) we wzorze Broglie'a to stała Plancka i wynosi \(h = 6.63*10^{-34}Js\).

Jako iż jedyną niewiadomą z powyższych wzorów jest prędkość (dokładna wartość \(E_k\) nie jest wymagana), to można ją wyznaczyć ze wzoru na energię kinetyczną.
\(
v = \sqrt{2\frac{E_k}{m}}
\)
Teraz można wyznaczyć długość fali materii dla protonu oraz elektronu.
\(
\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2\frac{E_k}{m_p} m_p^2}} = \frac{6.63*10^{-34}Js}{\sqrt{2 E_k * 1.673 * 10^{-27} kg }} = \frac{6.63*10^{-34}Js}{5.784 * 10^{-9} \sqrt{E_k * 1kg }} = \frac{1.146 * 10^{-25}Js}{\sqrt{E_k * 1kg}} \\
\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2\frac{E_k}{m_e} m_e^2}} = \frac{6.63*10^{-34}Js}{\sqrt{2 E_k * 9.11 * 10^{-31}kg }} = \frac{6.63*10^{-34}Js}{13.5 * 10^{-16} \sqrt{E_k * 1kg }} = \frac{0.491 * 10^{-18}Js}{\sqrt{E_k * 1kg}} = \frac{4.91 * 10^{-19}Js}{\sqrt{E_k * 1kg}}
\)
Jak widać, obie długości fal materii są odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka energii kinetycznej. Zapis matematyczny wygląda następująco \(\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E_k}}\).
Dodatkowo zauważyć można, iż długość fali materii protonu jest krótsza od elektronu o stałą wartość gdy energie kinetyczne są takie same.
\(
\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{\frac{4.91 * 10^{-19}Js}{\sqrt{E_k * 1kg}}}{\frac{1.146 * 10^{-25}Js}{\sqrt{E_k * 1kg}}} = \frac{4.91 * 10^{-19}Js}{1.146 * 10^{-25}Js} = 4.284 * 10^{6}
\)

Odpowiadając na twoje pytanie:
Długości fal materii dla protonu i elektronu o takiej samej energii kinetycznej, posiadają proporcjonalne wartości. Długość fali materii elektronu do protonu wynosi około \(4.284 * 10^{6}\).
Zapis matematyczny \(\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = 4.284 * 10^{6}\) lub \(\lambda_e = 4.284 * 10^{6} * \lambda_p\).

Jeżeli nigdzie się nie pomyliłem w obliczeniach oraz nie doprowadziłem do błędu logicznego, to wartości w przybliżeniu powinny zgadzać się z prawidłową odpowiedzią.

[korki_fizyka]

[..]

Jako iż jedyną niewiadomą z powyższych wzorów jest prędkość (dokładna wartość \(E_k\) nie jest wymagana), to można ją wyznaczyć ze wzoru na energię kinetyczną.
[..]

Mógłbyś rozwinąć zacytowaną myśl? i to skąd wiesz jaka jest prawidłowa odpowiedź?

Pytanie jakiego rzędu energie posiadają i czy należy uwzględnić efekty relatywistyczne pozostanie zapewne bez odpowiedzi (@mopac)

Dodatkowo zauważyć można, iż długość fali materii protonu jest krótsza od elektronu o stałą wartość gdy energie kinetyczne są takie same.

A to skąd

[..]
Odpowiadając na twoje pytanie:
Długości fal materii dla protonu i elektronu o takiej samej energii kinetycznej, posiadają proporcjonalne wartości. Długość fali materii elektronu do protonu wynosi około \(4.284 * 10^{6}\).
Zapis matematyczny \(\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = 4.284 * 10^{6}\) lub \(\lambda_e = 4.284 * 10^{6} * \lambda_p\).

Jeżeli nigdzie się nie pomyliłem w obliczeniach oraz nie doprowadziłem do błędu logicznego, to wartości w przybliżeniu powinny zgadzać się z prawidłową odpowiedzią.

Zbyt długie i niepotrzebnie skomplikowane rachunki zwykle prowadzą do błędów

Energia kinetyczna cząstki: \(E_k=\frac{p^2}{2m}\rightarrow p = \sqrt{2mE_k}\)

oraz długość fali de Broglie'a: \(\lambda =\frac{h}{p}\)

stąd

\(\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{p_p}{p_e}=\sqrt{\frac{m_p}{m_e}} \approx 43\)

[ThePPK]

[..]
Jako iż jedyną niewiadomą z powyższych wzorów jest prędkość (dokładna wartość \(E_k\) nie jest wymagana), to można ją wyznaczyć ze wzoru na energię kinetyczną.
[..]

Mógłbyś rozwinąć zacytowaną myśl? i to skąd wiesz jaka jest prawidłowa odpowiedź?

Faktycznie nie najlepiej to zapisałem. Chciałem wskazać, iż wartość prędkości cząsteczki nie jest podana bezpośrednio. A wartość \(E_k\) nie jest wymagana, gdyż powstanie proporcja między długościami fal materii jako jedna z zależności między nimi.

Pytanie jakiego rzędu energie posiadają i czy należy uwzględnić efekty relatywistyczne pozostanie zapewne bez odpowiedzi (@mopac)

Pytanie jest zadane w kategorii "Szkoła średnia", a w szkole średniej nie uwzględnia się efektów relatywistycznych.

Dodatkowo zauważyć można, iż długość fali materii protonu jest krótsza od elektronu o stałą wartość gdy energie kinetyczne są takie same.

A to skąd

Ponownie źle się wyraziłem. Miałem na myśli "Jest krótsza od elektronu i obie wartości posiadają stałą proporcję.".
Odnośnie tego skąd wiem, iż długość fali materii protonu jest krótsza, wynika z wyprowadzonych wzorów. Może to zaszokować nawet korepetytora , ale jestem odważny. Jeżeli prawdą jest, iż 2 > 1 to dlaczego \(\lambda_p < \lambda_e\) zapisane w postaci \(\frac{1.146 \cdot 10^{-20}Js}{\sqrt{E_k \cdot 1kg}} < \frac{4.91 \cdot 10^{-19}Js}{\sqrt{E_k \cdot 1kg}}\) (\(\lambda_p\) po poprawkach w obliczeniach) maiłoby być nieprawdą dla dodatniej energii kinetycznej?

Zbyt długie i niepotrzebnie skomplikowane rachunki zwykle prowadzą do błędów

Jedyny błąd, jaki zrobiłem w obliczeniach \(\lambda_p\) to niepoprawne wyciągniecie \(10^{-28}\) spod pierwiastka.
Dodatkowo swoim rozwiązaniem przedstawiłem mój tok rozumowania (zazwyczaj zbyt dużo nie myślę, tylko rozwiązuje). Miło, że pojawił się twój post, gdyż upraszcza on obliczenia.

[korki_fizyka]

Pytanie jest zadane w kategorii "Szkoła średnia", a w szkole średniej nie uwzględnia się efektów relatywistycznych.

Elementy STW wracają i mają być obowiązujące na maturze 2023r. dlatego moje pytanie jest zasadne.

[..] (zazwyczaj zbyt dużo nie myślę, tylko rozwiązuje)[..]

Następnym razem spisuj swoje rozwiązania na kartce, następnego dnia być może popatrzysz na nie inaczej, poprawisz i skrócisz lub wyrzucisz wszak praktyka czyni mistrza