Kongruencje liniowe

[Aloy]

Witam mam problem z poniższym zadaniem. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć krok po kroku jak to obliczyć?
Wyznacz wszystkie rozwiązania następujących kongruencji liniowych:
\(4x=3\ (\mod7)\)
\(3x+2=5\ (\mod6)\)
\(6x+8=5\ (\mod9)\)
\(6x=10\ (\mod15)\)
\(24x=40\ (\mod64)\)
\(75x=48\ (\mod90)\)

[Jerry]

Wyznacz wszystkie rozwiązania następujących kongruencji liniowych:
\(4x=3\ (\mod7)\)

Metoda pierwsza:
\(4x\equiv3\mod 7\equiv(3+3\cdot7)\mod7\equiv24\mod7\quad|:4\\
x\equiv6\mod7\)

Metoda druga:
\(4x\equiv3\mod 7\iff\exists _{k\in\zz}\ 4x=7k+3\)
Niech, dla \(k_1\in\zz\),
\(k=4k_1+3\),
wtedy
\(4x=7(4k_1+3)+3=28 k_1+24\qquad|:4\\ x=7k_1+6\iff x\equiv6\mod7\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Wyznacz wszystkie rozwiązania następujących kongruencji liniowych:
\(3x+2=5\ (\mod6)\)

\(3x+2\equiv5\mod6\quad|-2\\3x\equiv3\mod6\quad|:3\\x\equiv1\mod6\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Wyznacz wszystkie rozwiązania następujących kongruencji liniowych:
\(6x+8=5\ (\mod9)\)

\(6x\equiv-3\mod9\equiv(-3+1\cdot9)\mod6\equiv6\mod9\\x\equiv1\mod9\)

Pozdrawiam